За даними 25 підприємств за допомогою аналітичного групування з рівновеликими інтервалами (в три групи) прослідкувати залежність між виробництвом продукції та собівартістю зернових.
1. Результати групування оформити в таблиці та детально проаналізувати.
2. Оцінити суттєвість різниці середніх значень собівартості продукції по підприємствах першої та третьої груп за допомогою t-критерія Стьюдента.
| Підприємства | Вироблено продукції, тис. шт. | Загальна сума витрат, тис. грн. | Собівартість одиниці продукції, грн. |
| 1 | 8,5 | 35 | 9,15 |
| 2 | 2,7 | 29 | 7,01 |
| 3 | 4,0 | 67 | 8,37 |
| 4 | 9,8 | 59 | 9,64 |
| 5 | 2,5 | 31 | 9,11 |
| 6 | 4,9 | 68 | 9,09 |
| 7 | 7,1 | 23 | 7,95 |
| 8 | 11,0 | 91 | 7,61 |
| 9 | 5,2 | 43 | 8,20 |
| 10 | 6,9 | 37 | 8,77 |
| 11 | 10,7 | 53 | 9,00 |
| 12 | 4,1 | 20 | 9,35 |
| 13 | 7,3 | 61 | 9,41 |
| 14 | 9,7 | 46 | 8,79 |
| 15 | 6,3 | 32 | 8,95 |
| 16 | 5,2 | 29 | 8,99 |
| 17 | 9,0 | 37 | 9,95 |
| 18 | 8,9 | 59 | 8,11 |
| 19 | 7,1 | 43 | 8,40 |
| 20 | 6,4 | 27 | 7,50 |
| 21 | 10,1 | 85 | 8,33 |
| 22 | 3,9 | 70 | 7,99 |
| 23 | 4,5 | 31 | 9,13 |
| 24 | 6,3 | 55 | 8,45 |
| 25 | 9,7 | 42 | 9,39 |
Рішення:
Проведемо угруповання за кількістю виготовленої продукції.
Для проведення групування визначимо інтервал групування:
,
де , - відповідно найбільше і найменше значення групувальної ознаки;
- кількість груп;
інтервал.
Отже інтервал групування дорівнює:
і
= (11 – 2,5)/3 = 2,84
Відобразимо дані групування в таблицю:
| № п/п | Вироблено продукції, тис. шт. | Загальна сума витрат, тис. грн. | Собівартість одиниці продукції, грн. | Кількість підприємств |
| 1 | 2,5 – 5,34 | 338 | 77,24 | 9 |
| 2 | 5,34 – 8,18 | 278 | 59,43 | 7 |
| 3 | 8,18 – 11,02 | 507 | 79,97 | 9 |
Для визначення тісноти зв’язку між кількістю виготовленої продукції і собівартістю продукції розрахуємо коефіцієнт кореляції:
Для розрахунку потрібно визначити середнє квадратичне відхилення обох ознак, використовуючи формулу:
=171/25 = 6,872
= 216,64/25 = 8,67
Дані розраховані за допомогою формули середньої звичайної:
Розрахуємо середнє квадратичне відхилення:
= 2,49
= = 0,49
8,3179/30,5 = 0,27
як показали розрахунки між кількістю виготовленої продукції і собівартістю одиниці продукції існує тісний зв’язок.
Проведемо оцінку суттєвості різниці середніх значень собівартості продукції по підприємствах першої та третьої груп за допомогою t-критерія Стьюдента. В таблиці наведено дані першої групи:
| № п/п | Вироблено продукції, тис. шт. | Собівартість одиниці продукції, грн. |
| 1 | 2,5 | 9,11 |
| 2 | 2,7 | 7,01 |
| 3 | 3,9 | 7,99 |
| 4 | 4 | 8,37 |
| 5 | 4,1 | 9,35 |
| 6 | 4,5 | 9,13 |
| 7 | 4,9 | 9,09 |
| 8 | 5,2 | 8,2 |
| 9 | 5,2 | 8,99 |
Шляхом розрахунку середньої арифметичної звичайної середнє значення собівартості одиниці продукціїдорівнює 8,58 грн. Дисперсія дорівнює 0,51, середнє квадратичне відхилення 0,72.
Знайдемо коефіцієнт варіації:
U = (0,72/8,58) * 100 = 8,39 %
t-критерій Стьюдента в даному випадку, для ступенів волі f = 9 – 1 = 8, і рівня довірчої імовірності 95 %, дорівнює 2,3060 таким чином довірчий інтервал для середнього значення дорівнює від 8,15 до 9,0.
Третя група має вигляд:
| № п/п | Вироблено продукції, тис. шт. | Собівартість одиниці продукції, грн. |
| 1 | 8,5 | 9,15 |
| 2 | 8,9 | 8,11 |
| 3 | 9 | 9,95 |
| 4 | 9,7 | 8,79 |
| 5 | 9,7 | 9,39 |
| 6 | 9,8 | 9,64 |
| 7 | 10,1 | 8,33 |
| 8 | 10,7 | 9 |
| 9 | 11 | 7,61 |
Аналогічним чином знайдемо:
=79,97/9 = 8,89
G2
= 4,5862/9 = 0,51
G = 0,71
U = (0,71/8,89) * 100 = 7,99
t-критерій Стьюдента в даному випадку, для ступенів волі f = 9 – 1 = 8, і рівня довірчої імовірності 95 %, дорівнює 2,36, таким чином довірчий інтервал для середнього значення дорівнює від 8,45 до 9,3.
Задача 2
За даними 25 підприємств побудувати ряд розподілу в 5 інтервалів (n = ) за загальною сумою витрат.
За рядом розподілу обчислити:
1. Моду
2. Медіану
3. Зобразити графічно ряди розподілу: побудувати полігон та гістограму розподілу, огіву, кумуляту інтервального ряду розподілу.
| Підприємства | Вироблено продукції, тис. шт. | Загальна сума витрат, тис. грн. | Собівартість одиниці продукції, грн. |
| 1 | 8,5 | 35 | 9,15 |
| 2 | 2,7 | 29 | 7,01 |
| 3 | 4,0 | 67 | 8,37 |
| 4 | 9,8 | 59 | 9,64 |
| 5 | 2,5 | 31 | 9,11 |
| 6 | 4,9 | 68 | 9,09 |
| 7 | 7,1 | 23 | 7,95 |
| 8 | 11,0 | 91 | 7,61 |
| 9 | 5,2 | 43 | 8,20 |
| 10 | 6,9 | 37 | 8,77 |
| 11 | 10,7 | 53 | 9,00 |
| 12 | 4,1 | 20 | 9,35 |
| 13 | 7,3 | 61 | 9,41 |
| 14 | 9,7 | 46 | 8,79 |
| 15 | 6,3 | 32 | 8,95 |
| 16 | 5,2 | 29 | 8,99 |
| 17 | 9,0 | 37 | 9,95 |
| 18 | 8,9 | 59 | 8,11 |
| 19 | 7,1 | 43 | 8,40 |
| 20 | 6,4 | 27 | 7,50 |
| 21 | 10,1 | 85 | 8,33 |
| 22 | 3,9 | 70 | 7,99 |
| 23 | 4,5 | 31 | 9,13 |
| 24 | 6,3 | 55 | 8,45 |
| 25 | 9,7 | 42 | 9,39 |
Рішення:
Для проведення групування визначимо інтервал групування за допомогою наступної формули:
,
де , - відповідно найбільше і найменше значення групувальної ознаки;
- кількість груп;
інтервал.
Отже інтервал групування дорівнює:
і
= (91 – 20)/5 = 14,2
| № п/п | Продуктивність праці | Кількість заводів |
| 1 | 20 – 34,2 | 8 |
| 2 | 34,2 – 48,4 | 7 |
| 3 | 48,4 – 62,6 | 5 |
| 4 | 62,6 – 76,8 | 3 |
| 5 | 76,8 - 91 | 2 |
Мода – це варіант, що частіше за все зустрічається в статистичному ряді. Мода розраховується за допомогою наступної формули:
Мо = х0
+ і (fm
– fm
-1
)/((fm
– fm
-1
)(fm
– fm
+1
))
де х0
– нижня границя модального інтервалу;
і – величина інтервалу;
fm
– частота модального інтервалу;
fm
-1
– частота інтервалу, що передує модальному інтервалу;
fm
+1
– частота наступного інтервалу за модальним інтервалом.
Проведемо відповідні розрахунки:
Мо = 20 + 14,2=20 + 14,2 * 0,067 = 20,95
Медіана розраховується за допомогою формули:
Ме = х0
+ і
де (і Σf)/2 – сума всіх частот пополам;
Sm
-1
– накопичена частота інтервалу, що передує медіанному;
fm
– частота медіанного інтервалу.
Ме = 34,2 + 14,2 * ((12,5-8)/7) = 43,33
Побудуємо за даними групуваннями гістограму:
побудуємо полігон:
побудуємо кумулятивну криву:
побудуємо огіву:
Задача 3
За даними 25 цехів заводів скласти і розв’язати рівняння кореляційної залежності виробництва литва на одного робітника і собівартістю 1 т, обчисливши при цьому ці показники для кожного заводу. Обчислити коефіцієнт кореляції. Побудувати графік кореляційної залежності. Зробити короткі висновки. Обчислення оформити в таблиці.
| № п/п заводів | Виробництво литва на одного працівника, т | Брак, % | Собівартість 1 т, грн. |
| 1 | 14,6 | 4,2 | 239 |
| 2 | 13,5 | 6,7 | 254 |
| 3 | 21,6 | 5,5 | 262 |
| 4 | 17,4 | 7,7 | 251 |
| 5 | 44,8 | 1,2 | 158 |
| 6 | 111,9 | 2,2 | 101 |
| 7 | 20,1 | 8,4 | 259 |
| 8 | 28,1 | 1,4 | 186 |
| 9 | 22,3 | 4,2 | 204 |
| 10 | 25,3 | 0,9 | 198 |
| 11 | 56,0 | 1,3 | 170 |
| 12 | 40,2 | 1,8 | 173 |
| 13 | 40,6 | 3,3 | 197 |
| 14 | 75,8 | 3,4 | 172 |
| 15 | 27,6 | 1,1 | 201 |
| 16 | 88,4 | 0,1 | 130 |
| 17 | 16,6 | 4,1 | 251 |
| 18 | 33,4 | 2,3 | 195 |
| 19 | 17,0 | 9,3 | 282 |
| 20 | 33,1 | 3,3 | 196 |
| 21 | 30,1 | 3,5 | 186 |
| 22 | 65,2 | 1,0 | 176 |
| 23 | 22,6 | 5,2 | 238 |
| 24 | 33,4 | 2,3 | 204 |
| 25 | 19,7 | 2,7 | 205 |
Рішення:
Для вияву і тісноти взаємозв’язку між показниками використаємо кореляційно - регресійні методи аналізу. Основною ціллю нашого аналізу є отримання апроксимуючої функції:
що найбільш реально відображає зв’язок між показниками, що вивчаються.
Для побудови одно факторної моделі розглянемо:
або
Параметри розраховуються по методу найменших квадратів, тобто коли система нормативних рівнянь при вирівнюванні має вигляд:
звідси
Розрахункові дані наведені в таблиці:
| № п/п заводів | Виробництво литва на одного працівника, т (х) | Собівартість 1 т, грн. (у) | ху | х2
|
| 1 | 14,6 | 239 | 3489,4 | 57121 |
| 2 | 13,5 | 254 | 3429 | 64516 |
| 3 | 21,6 | 262 | 5659,2 | 68644 |
| 4 | 17,4 | 251 | 4367,4 | 63001 |
| 5 | 44,8 | 158 | 7078,4 | 24964 |
| 6 | 111,9 | 101 | 11301,9 | 10201 |
| 7 | 20,1 | 259 | 5205,9 | 67081 |
| 8 | 28,1 | 186 | 5226,6 | 34596 |
| 9 | 22,3 | 204 | 4549,2 | 41616 |
| 10 | 25,3 | 198 | 5009,4 | 39204 |
| 11 | 56,0 | 170 | 9520 | 28900 |
| 12 | 40,2 | 173 | 6954,6 | 29929 |
| 13 | 40,6 | 197 | 7998,2 | 38809 |
| 14 | 75,8 | 172 | 13037,6 | 29584 |
| 15 | 27,6 | 201 | 5547,6 | 40401 |
| 16 | 88,4 | 130 | 11492 | 16900 |
| 17 | 16,6 | 251 | 4166,6 | 63001 |
| 18 | 33,4 | 195 | 6513 | 38025 |
| 19 | 17,0 | 282 | 4794 | 79524 |
| 20 | 33,1 | 196 | 6487,6 | 38416 |
| 21 | 30,1 | 186 | 5598,6 | 34596 |
| 22 | 65,2 | 176 | 11475,2 | 30976 |
| 23 | 22,6 | 238 | 5378,8 | 56644 |
| 24 | 33,4 | 204 | 6813,6 | 41616 |
| 25 | 19,7 | 205 | 4038,5 | 42025 |
| Всього | 919,3 | 5088 | 165132,3 | 1080290 |
919,3/25 = 36,772
1651323/1080290 = 0,153
таким чином рівняння кореляційної залежності має вигляд:
= 36,772 + 0,153 х
знайдемо коефіцієнт кореляції:
для цього визначимо середнє квадратне відхилення показників х і y:
Розрахуємо середні показники виробництва литва на одного працівника і собівартості однієї тони продукції:
=919,3/25 = 36,77
= 5088/25 = 203,52
Розрахунки оформимо в таблиці:
№ п/п заводів |
|||||
| 1 | -22,17 | 35,48 | 491,5089 | 1258,8304 | -786,5916 |
| 2 | -23,27 | 50,48 | 541,4929 | 2548,2304 | -1174,6696 |
| 3 | -15,17 | 58,48 | 230,1289 | 3419,9104 | -887,1416 |
| 4 | -19,37 | 47,48 | 375,1969 | 2254,3504 | -919,6876 |
| 5 | 8,03 | -45,52 | 64,4809 | 2072,0704 | -365,5256 |
| 6 | 75,13 | -102,52 | 5644,5169 | 10510,3504 | -7702,3276 |
| 7 | -16,67 | 55,48 | 277,8889 | 3078,0304 | -924,8516 |
| 8 | -8,67 | -17,52 | 75,1689 | 306,9504 | 151,8984 |
| 9 | -14,47 | 0,48 | 209,3809 | 0,2304 | -6,9456 |
| 10 | -11,47 | -5,52 | 131,5609 | 30,4704 | 63,3144 |
| 11 | 19,23 | -33,52 | 369,7929 | 1123,5904 | -644,5896 |
| 12 | 3,43 | -30,52 | 11,7649 | 931,4704 | -104,6836 |
| 13 | 3,83 | -6,52 | 14,6689 | 42,5104 | -24,9716 |
| 14 | 39,03 | -31,52 | 1523,3409 | 993,5104 | -1230,2256 |
| 15 | -9,17 | -2,52 | 84,0889 | 6,3504 | 23,1084 |
| 16 | 51,63 | -73,52 | 2665,6569 | 5405,1904 | -3795,8376 |
| 17 | -20,17 | 47,48 | 406,8289 | 2254,3504 | -957,6716 |
| 18 | -3,37 | -8,52 | 11,3569 | 72,5904 | 28,7124 |
| 19 | -19,77 | 78,48 | 390,8529 | 6159,1104 | -1551,5496 |
| 20 | -3,67 | -7,52 | 13,4689 | 56,5504 | 27,5984 |
| 21 | -6,67 | -17,52 | 44,4889 | 306,9504 | 116,8584 |
| 22 | 28,43 | -27,52 | 808,2649 | 757,3504 | -782,3936 |
| 23 | -14,17 | 34,48 | 200,7889 | 1188,8704 | -488,5816 |
| 24 | -3,37 | 0,48 | 11,3569 | 0,2304 | -1,6176 |
| 25 | -17,07 | 1,48 | 291,3849 | 2,1904 | -25,2636 |
| Всього | 14889,4305 | 44780,24 | -21963,636 |
= 24,4
= = 42,32
Для розрахунку коефіцієнта кореляції використовується формула:
r
= (-21963,636)/25815,2 = - 0,85
Оскільки коефіцієнт кореляції дорівнює показнику меншому за 0,3, то це свідчить про слабкий кореляційний зв’язок між параметрами, що аналізуються.
Побудуємо графік кореляційної залежності:
Задача 4
Товарооборот продовольчого магазину по основних групах товарів становив:
| Назва продукту | Товарооборот у поточних цінах, тис. грн. | Зміни кількості продукції у звітному періоді порівняно з базисним, % | |
| базисний | звітний | ||
| М’ясо | 35 | 50 | +12 |
| Молоко | 46 | 46 | +7 |
| Овочі | 35 | 55 | -10 |
Обчислити:
1. Обчислити загальні індекси та абсолютні прирости фізичного обсягу реалізації, цін, товарообороту.
2. Показники взаємозв’язку між ними.
3. Зробити короткі висновки.
Рішення:
Товарооберт, це рух товарної маси від виробника до споживача шляхом купівлі – продажу, шляхом обміну товару на гроші.
Взаємозв’язок між ціною (р) і кількістю проданих товарів (q) можна виразити через об’єм товарооберту, що дорівнює:
у випадку коли за період, що розглядається товар продавався і покупався кілька разів, то вартість цього товару стільки ж раз буде враховуватись в об’ємі товарообету.
Динаміка товарооберту вивчається в поточних цінах і спів ставних, загальний індекс товар оберту розраховується за допомогою формули:
де I – загальний індекс товароберту;
p0
p – ціни в базисному і звітному періоді відповідно;
q0
q– об’єм виготовленої продукції у базисному і звітному періоді.
І = 151/116 = 1,3 або 130 %
Абсолютний приріст = 151 – 116 = 35 тис.грн..
Таким чином товарооберт у звітному періоді збільшився на 35 тис. грн.. в порівнянні з базисним.
Виходячи з даних наведених у таблиці кількість м’ясної продукції в звітному періоді відносно базисного зросла на 12 %, отже індекс фізичного об’єму м’ясної продукції склав 1,12 або 112 %, при цьому виходячи з залежності, індекс цін дорівнює 0,013, або 1,3 %. Аналогічно індекс фізичного об’єму молочних продуктів склав 107 %, при цьому індекс ціни 0,0093, або 0,93 %. Обсяг продажу овочів знизився на 10 %, отже індекс фізичного об’єму продажу овочів склав 90 % або 0,9, при цьому індекс ціни на овочі склав 0,018 або 1,8 %.
Задача 5
Є дані про динаміку валового виробництва продукції, тис. т.
| Роки | Валовий збір, тис. т | Базисні показники динаміки | |||
| Абсолютний приріст, тис. т | Темп зростання, % | Темп приросту, % | Абсолютне значення 1 % приросту, тис. т | ||
| 1997 | 132,8 | ||||
| 1998 | 134,85 | 2,85 | 2,05 | 1,05 | 2,71 |
| 1999 | 929,6 | 796,8 | 7,0 | 6,0 | 132,8 |
| 2000 | 9827,2 | 9694,4 | 74,0 | 73,0 | 132,8 |
| 2001 | 796,8 | 664 | 6 | 5,0 | 132,8 |
| 2002 | 13678,4 | 13545,6 | 103,0 | 102,0 | 132,8 |
| 2003 | 398,4 | 265,6 | 3,0 | 2,0 | 132,8 |
Використовуючи взаємозв’язок показників динаміки, визначити рівні та показники, що відсутні в таблиці.
Рішення:
Оскільки абсолютний приріст валового виробництва продукції визначається, як відношення між двома рівнями ряду:
,
то знайдемо показник валового збору продукції в 1998 році:
= 2,85 + 132 = 134,85
у відповідності до формули знайдемо темп зростання:
Т1998
= 134,85/132,8 = 2,05
Темп приросту знаходиться за формулою:
ΔТ = Тб
– 1
ΔТ1998
= 2,05 – 1 = 1,05
Абсолютне значення приросту розраховується за допомогою наступної формули:
λ = Δ/ΔТ
λ = 2,85/1,05 = 2,71
тобто 2,71 є абсолютною величиною одного проценту приросту валового збору виробництва.
Шляхом математичних розрахунків, через вказані формули і підстановки відомих показників з таблиці, розрахуємо і занесемо до таблиці невідомі елементи, використовуючи базисний метод розрахунків.