Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20%-тная, механическая), млн. руб.:
Таблица 1 – Исходные данные
| №
предприятия
|
Выручка от продажи продукции
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
№ предприятия
|
Выручка от продажи продукции
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
| 1 |
36,45 |
30,255 |
16 |
36,936 |
31,026 |
| 2 |
23,4 |
20,124 |
17 |
53,392 |
42,714 |
| 3 |
46,540 |
38,163 |
18 |
41,0 |
33,62 |
| 4 |
59,752 |
47,204 |
19 |
55,680 |
43,987 |
| 5 |
41,415 |
33,546 |
20 |
18,2 |
15,652 |
| 6 |
26,86 |
22,831 |
21 |
31,8 |
26,394 |
| 7 |
79,2 |
60,984 |
22 |
39,204 |
32,539 |
| 8 |
54,72 |
43,776 |
23 |
57,128 |
45,702 |
| 9 |
40,424 |
33,148 |
24 |
28,44 |
23,89 |
| 10 |
30,21 |
25,376 |
25 |
43,344 |
35,542 |
| 11 |
42,418 |
34,359 |
26 |
70,720 |
54,454 |
| 12 |
64,575 |
51,014 |
27 |
41,832 |
34,302 |
| 13 |
51,612 |
41,806 |
28 |
69,345 |
54,089 |
| 14 |
35,42 |
29,753 |
29 |
35,903 |
30,159 |
| 15 |
14,4 |
12,528 |
30 |
50,220 |
40,678 |
По исходным данным:
1. Построим статистический ряд распределения предприятий по признаку прибыль от продаж
, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Построим график полученного ряда распределения. Графически определим значения моды и медианы.
3. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
4. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным, сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения.
Решение:
1. Рассчитаем прибыль от продаж продукции, как разность от продажи продукции и затратами на производство и реализацию продукции
В результате получим новую таблицу:
Таблица 2 – Расчет прибыли от продаж
| № предприятия |
Выручка от продажи продук-ции |
Затраты на производство и реализацию продукции |
Прибыль от продаж |
№ предприятия |
Выручка от продажи продукции |
Затраты на производство и реализацию продукции |
Прибыль от продаж |
| 1 |
36,45 |
30,255 |
6,195 |
16 |
36,936 |
31,026 |
5,910 |
| 2 |
23,4 |
20,124 |
3,276 |
17 |
53,392 |
42,714 |
10,678 |
| 3 |
46,54 |
38,163 |
8,377 |
18 |
41 |
33,62 |
7,380 |
| 4 |
59,752 |
47,204 |
12,548 |
19 |
55,68 |
43,987 |
11,693 |
| 5 |
41,415 |
33,546 |
7,869 |
20 |
18,2 |
15,652 |
2,548 |
| 6 |
26,86 |
22,831 |
4,029 |
21 |
31,8 |
26,394 |
5,406 |
| 7 |
79,2 |
60,984 |
18,216 |
22 |
39,204 |
32,539 |
6,665 |
| 8 |
54,72 |
43,776 |
10,944 |
23 |
57,128 |
45,702 |
11,426 |
| 9 |
40,424 |
33,148 |
7,276 |
24 |
28,44 |
23,89 |
4,550 |
| 10 |
30,21 |
25,376 |
4,834 |
25 |
43,344 |
35,542 |
7,802 |
| 11 |
42,418 |
34,359 |
8,059 |
26 |
70,72 |
54,454 |
16,266 |
| 12 |
64,575 |
51,014 |
13,561 |
27 |
41,832 |
34,302 |
7,530 |
| 13 |
51,612 |
41,806 |
9,806 |
28 |
69,345 |
54,089 |
15,256 |
| 14 |
35,42 |
29,753 |
5,667 |
29 |
35,903 |
30,159 |
5,744 |
| 15 |
14,4 |
12,528 |
1,872 |
30 |
50,22 |
40,678 |
9,542 |
2. Сначала вычислим величину интервала группировочного признака (прибыль от продаж
):
i=(х максимальное значение
–х минимальное значение
) /5 групп =
= (18,216 – 1,872)/5=3,2688 млн.руб.
Таблица 3 - Распределение предприятий по признаку прибыль от продаж
| № группы |
Группы предприятий по прибыли от продаж
млн.руб. x |
Число предприятий f |
% к итогу |
Накоп-ленная частость S |
Середина интервала x` |
x`f |
| I |
1,872-5,1408 |
6 |
20 |
6 |
3,5064 |
21,0384 |
| II |
5,1408-8,4096 |
13 |
43 |
19 |
6,7752 |
88,0776 |
| III |
8,4096-11,6784 |
5 |
17 |
24 |
10,044 |
50,22 |
| IV |
11,6784-14,9472 |
3 |
10 |
27 |
13,3128 |
39,9384 |
| V |
14,9472-18,216 |
3 |
10 |
30 |
16,5816 |
49,7448 |
| Итого: |
30 |
100 |
249,0192 |
Результаты группировки показывают, что наибольшая часть предприятий, т.е. 43 % имеет прибыль от продаж в размере от 5,14 до 8,41 млн.руб.
3. Построим график полученного ряда распределения:
Рис.1. Гистограмма распределения предприятий по прибыли от продаж
Мода
Мо
- это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. Моду находим по формуле:
где: минимальная граница модального интервала;
- величина модального интервала;
{частоты модального интервала, предшествующего и следующего за ним
= 5,1408+3,2688 *(13-6/ ((13-6)+(13-5)) =6,6662 млн.руб.
Рис.2. Графическое определение моды в распределении предприятий по прибыли от продаж
Медиана
Ме
- варианта, находящаяся в середине ряда распределения. Медиану находим по формуле:
где: - нижняя граница медианного интервала;
- величина медианного интервала;
- полусумма частот ряда;
- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
- частота медианного интервала.
= 5,1408+3,2688*((0,5*30-6)/ 13) =7,4038 млн.руб.
Рис.3. Графическое определение медианы в распределении предприятий по прибыли от продаж
Значит, наиболее часто встречающееся значение находится в пределе 6,67 млн.руб., а серединное значение 7,4 млн.руб.
4. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
Средняя арифметическая взвешенная
xcр
= ∑xf/∑f = 249,02/30 = 8,3 млн.руб. в среднем составляет прибыль от продаж
Среднеквадратическое отклонение
σ = == 3,9347 млн. руб.
(на данную величину в среднем отклоняются значения ряда распределения от среднего значения)
Таблица 4
| № группы |
Группы предприятий по прибыли от продаж
млн.руб. x |
Число предприятий f |
% к итогу |
Середина интервала x` |
|xi
xcp=
|
(xi
|
| I |
1,872-5,1408 |
6 |
20 |
3,5064 |
4,7936 |
137,8716 |
| II |
5,1408-8,4096 |
13 |
43 |
6,7752 |
1,5248 |
30,2252 |
| III |
8,4096-11,6784 |
5 |
17 |
10,044 |
1,744 |
15,20768 |
| IV |
11,6784-14,9472 |
3 |
10 |
13,3128 |
5,0128 |
75,38449 |
| V |
14,9472-18,216 |
3 |
10 |
16,5816 |
8,2816 |
205,7547 |
| Итого: |
30 |
100 |
464,4437 |
Дисперсия
Коэффициент вариации
υ = σ/xcp
*100 = 3,9347/8,3 * 100 = 47,41 % - значение характеризующее однородность ряда. Так как коэффициент вариации превышает 33 %, то делаем вывод, что наш ряд распределения не однороден.
Выводы:
1. Средняя величина прибыли от продажи продукции на предприятии составляет 8,301 млн. руб.
2. Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем на 3,9347 млн. руб
3. Совокупность данных неоднородна, т.к. коэффициент вариации больше 33%.
Задача № 2
Связь между признаками – затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж
.
1. Установим наличие и характер связи между признаками затраты на производство и реализацию продукции
и прибыль от продаж
, образовав заданное число групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:
а) аналитической группировки,
б) корреляционной таблицы.
Решение:
1. Прибыль предприятия напрямую зависит от затрат на производство и реализацию продукции, тогда обозначим затраты независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие, то на прибыль предприятия, кроме затрат на производство и реализацию продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать, что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по затратам, а интервал высчитаем по формуле:
е=(хmax
– xmin
)/k,
где k
– число выделенных интервалов.
е
=(60,984-12,528)/5=9,691 млн.руб.
Получим следующие интервалы:
12,528-22,219; 22,219-31,910; 31,910-41,602; 41,602-51,293; 51,293-60,984
Таблица 5
| Группировка предприятий по затратам, млн.руб.
|
№ предприятия
|
Затраты на пр-во и реализ., млн.руб
Х
|
Прибыль млн.руб.
У
>
|
У2
|
|
| I |
12,528-22,219 |
15 |
12,528 |
1,872 |
3,504384 |
| 20 |
15,652 |
2,548 |
6,492304 |
||
| 2 |
20,124 |
3,276 |
10,73218 |
||
| |
3 |
48,304 |
7,696 |
20,7289 |
|
| В среднем на 1 предприятие |
16,101 |
2,565 |
|||
| II |
22,219-31,910 |
6 |
22,81 |
4,029 |
16,23284 |
| 24 |
23,89 |
4,55 |
20,7025 |
||
| 10 |
25,376 |
4,834 |
23,36756 |
||
| 21 |
26,394 |
5,406 |
29,22484 |
||
| 14 |
29,753 |
5,667 |
32,11489 |
||
| 29 |
30,159 |
5,744 |
32,99354 |
||
| 1 |
30,255 |
6,195 |
38,37803 |
||
| 16 |
31,026 |
5,91 |
34,9281 |
||
| |
8 |
219,663 |
42,335 |
227,942 |
|
| В среднем на 1 предприятие |
27,458 |
5,292 |
|||
| III |
31,910-41,602 |
22 |
32,539 |
6,665 |
44,42223 |
| 9 |
33,148 |
7,276 |
52,94018 |
||
| 5 |
33,546 |
7,869 |
61,92116 |
||
| 18 |
33,62 |
7,38 |
54,4644 |
||
| 27 |
34,302 |
7,53 |
56,7009 |
||
| 11 |
34,359 |
8,059 |
64,94748 |
||
| 25 |
35,542 |
7,802 |
60,8712 |
||
| 3 |
38,163 |
8,377 |
70,17413 |
||
| 30 |
40,678 |
9,542 |
91,04976 |
||
| |
9 |
315,897 |
70,5 |
557,491 |
|
| В среднем на 1 предприятие |
35,10 |
7,833 |
|||
| IV |
41,602-51,293 |
13 |
41,806 |
9,806 |
96,15764 |
| 17 |
42,714 |
10,678 |
114,0197 |
||
| 8 |
43,776 |
10,944 |
119,7711 |
||
| 19 |
43,987 |
11,693 |
136,7262 |
||
| 23 |
45,702 |
11,426 |
130,5535 |
||
| 4 |
47,204 |
12,548 |
157,4523 |
||
| 12 |
51,014 |
13,561 |
183,9007 |
||
| |
7 |
316,203 |
80,656 |
938,581 |
|
| В среднем на 1 предприятие |
45,172 |
11,522 |
|||
| V |
51,293-60,984 |
28 |
54,089 |
15,256 |
232,7455 |
| 26 |
54,454 |
16,266 |
264,5828 |
||
| 7 |
60,974 |
18,216 |
331,8227 |
||
| |
3 |
169,517 |
49,738 |
829,151 |
|
| В среднем на 1 предприятие |
56,506 |
16,579 |
|||
|
|
ИТОГО
|
1069,615
|
250,925
|
2573,89 |
|
| В среднем
|
35,65
|
8,364
|
|||
Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу 6:
Таблица 6
| Группы предприятий по затратам, млн.руб
|
Число предприятий
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
Прибыль, млн.руб
|
||
| Всего
|
В среднем на одно пр-тие
|
Всего
|
В среднем на одно пр-тие
|
||
| 12,528-22,219 |
3 |
48,304 |
16,101 |
7,696 |
2,565 |
| 22,219-31,910 |
8 |
219,663 |
27,458 |
42,335 |
5,292 |
| 31,910-41,602 |
9 |
315,897 |
35,1 |
70,5 |
7,833 |
| 41,602-51,293 |
7 |
316,203 |
45,172 |
80,656 |
11,522 |
| 51,293-60,984 |
3 |
169,517 |
56,506 |
49,768 |
16,579 |
| ∑
|
30
|
1070
|
35,65
|
250,925
|
8,364
|
По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом затрат на производство и реализацию продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.
2. Строим расчетную таблицу 7:
Таблица 7
| Группы предприятий по затратам, млн.руб. |
Число пр-тий |
Прибыль, млн.руб |
|
|
||||
| f
|
Всего
|
В среднем на одно пр-тие, ‾yi
|
||||||
| 12,528-22,219 |
3 |
7,696 |
2,565 |
-5,799 |
33,628 |
100,885 |
||
| 22,219-31,910 |
8 |
42,335 |
5,292 |
-3,072 |
9,437 |
75,497 |
||
| 31,910-41,602 |
9 |
70,5 |
7,833 |
-0,531 |
0,282 |
2,538 |
||
| 41,602-51,293 |
7 |
80,656 |
11,522 |
3,158 |
9,972 |
69,812 |
||
| 51,293-60,984 |
3 |
49,768 |
16,579 |
8,215 |
67,486 |
202,459 |
||
| Сумма
|
30
|
250,925
|
8,364
|
451,19
|
||||
Вычисляем коэффициент детерминации по формуле:
где - межгрупповая дисперсия, находящаяся по формуле:
- общая дисперсия результативного признака, находящаяся по формуле:
Теперь находим межгрупповую дисперсию: =451,19/30=15,04
Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать:
y2
=2573,89/30=85,796
=85,796-(8,364)2
=15,84
Вычисляем коэффициент детерминации:
η2
=εy
2
/δy
2
η2
=15,04/15,84=0,95 или 95%
Следовательно, на 95% вариация прибыли предприятия зависит от вариации затрат на производство и реализацию продукции и на 5% зависит от неучтенных факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение составляет:
η
= √0,95=0,975
Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между затратами и суммой прибыли.
Задача № 3
По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:
1. Ошибку выборки средней суммы прибыли от продаж и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли в генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли организаций с суммой прибыли 14,948 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Решение:
Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле:
если Р=0,683, то t=1. Т.к. выборка механическая 20%-ная, то N=150
Δх
=1*√(15,472/30)*(1-30/150)=0.7млн. руб.
Ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Δх
=0,7млн.руб.
Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле :
8,301- 0,7≤ ≤8,301+0,7
7,601≤ ≤9.001
С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах от 7,601 млн. руб. до 9,001 млн. руб.
Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах :
Выборочная доля составит:
w
=3/30=0,1 или 10%
Ошибку выборки определяем по формуле:
где N-объем генеральной совокупности. Т.к. выборка 20%-ная и в выборку вошло 30 предприятий, то N=150.
Подставляя данные в формулу, получим:
Dw
=1√(0,1(1-0,1)/30)*(1-30/600)
∆w
=0,0024
Следовательно с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 14,948 млн. руб. будет находиться в следующих пределах:
0,1-0,0024≤∆ω
≤0,1+0,0024
0,098≤∆ω
≤0,1024
или от 9,8% до 10,24%.
Задача №4
Имеются следующие данные по организации о прибыли от продажи продукции и ее рентабельности:
Таблица 8
| Вид продукции
|
Прибыль от продажи продукции, млн. руб.
|
Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), %
|
|
| Базисный период
|
Отчетный период
|
||
| А |
0,8 |
0,88 |
10 |
| Б |
0,5 |
0,62 |
12 |
| В |
1,1 |
1 |
-2 |
Определите:
1. Общий индекс рентабельности реализованной продукции.
2. Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности.
Сделать выводы.
Решение:
Для проведения необходимых расчетов построим дополнительную таблицу 9:
Таблица 9
| Вид про-дук-ции |
Прибыль от продажи продукции, млн. руб. |
Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), % Rотч - Rбаз |
I рент = Rотч/Rбаз |
Сотч/ Сбаз |
|
| Базисный период |
Отчетный период |
||||
| А |
0,8 |
0,88 |
10 |
1,1 |
1,00000 |
| Б |
0,5 |
0,62 |
12 |
1,12 |
1,10714 |
| В |
1,1 |
1 |
-2 |
0,98 |
0,92764 |
| ИТОГО |
2,4 |
2,5 |
|||
1) Индекс рентабельности – это отношение рентабельности отчетного периода к ее уровню в базисном периоде.
Для определения уровня рентабельности нам необходимо знать величину прибыли от продажи продукции и ее себестоимость. Поскольку себестоимость неизвестна, но имеются индивидуальные индексы рентабельности по трем видам продукции, мы можем определить темп роста себестоимости в отчетном году по сравнению с базисным (Сотч/Сбаз).
Для того, чтобы определить общий индекс рентабельности – нужно суммировать показатели по всем трем видам продукции:
,
Итак, общий индекс рентабельности составил 1,03, то есть в отчетном периоде по сравнению с базисным общий уровень рентабельности всей реализованной продукции увеличился на 3%.
2) Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности:
Из таблицы видно, что прибыль от продажи всех трех видов продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 0,1 млн. руб. (2,5-2,4), что позволяет нам сделать следующий вывод:
Рост рентабельности продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным на 3 % (по продукции А, Б, В) позволил увеличить прибыль от продажи этой продукции на 100 тысяч рублей.