Правило торговца.
Кредит в Z = 15 000 руб. выдан на N = 10 месяцев под i = 10% годовых. Договор предусматривает погашение двумя промежуточными платежами. Первая выплата в сумме R1 = 600 руб. производится через n1 = 6 месяцев, вторая выплата в сумме R2 = 9 000 руб. - через n2 = 9 месяцев. Найти выплату в конце срока кредита.
Решение.
Продолжительность кредита в долях года равна
T =10/12=5/6.
Тогда долг (кредит с процентами) составит 15 000(1 + 0,1⋅0,83) = 16 245.
Интервал времени (в долях года) от момента первого платежа до окончания срока кредита
t1 =(10-6) /12=1/3.
Сумма первого платежа с процентами равна
R1=(1+ i t1) = 600(1+0,1·1/3) =620.
Остаток долга после первого платежа будет равен
Z1 = 16245-620=15625.
Интервал времени (в долях года) от момента второго платежа до окончания срока кредита
t2 =(10-9) /12=1/12.
Сумма второго платежа с процентами равна
R2=(1+ i t2) =9000(1+0,1·1/12) =9075.
Остаток долга будет равен
Z2 = 15625-9075=6550.
Отсюда следует, что в конце срока кредита погашающий платеж равен
R3= 6550 руб.
Таким образом, заемщиком будет выплачена сумма
R1+ R2+R3= 600+9000+6550=16150 руб.
При этом его долг кредитору составляет 16 245 руб.
Задание 2
Клиент получил ссуду Р = 200000 руб. сроком на n = 8 лет под 6% процентов годовых. Погашение кредита производится в конце каждого года равными долями.
Вычислить размер ежегодного платежа и его разбиение на погашение основного долга и погашение процентов. Вычисления по формулам проверить с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ.
Решение.
Клиент должен каждый год выплачивать банку сумму
R=P∙ i/(1-(1+i) - n) =200000∙0,06/(1-(1+0,06) - 8) =32207, 19
Этот ответ можно получить, используя таблицу коэффициентов приведения a(i,k),
R=P/(a(6%,8)) =200000/6, 20979=32207, 19
найдем выплаты по процентам и основного долга в конце первого года, т.е. при j = 1, Z0 = P = 200 000:
D1 = i·Z0 = 0,06·200 000 = 12 000,B1 = R - D1 = 32207,19 - 12000 =20207, 19.
Тогда остаток долга в конце первого года будет равен
Z1 = Z0 - B1 = 200 000 - 20207,19 = 179792,81.
В конце второго года, т.е. при j = 2 выплаты по процентам
D2 = i·Z1 = 0,06·179792,81 ≈ 10787,57,выплаты основного долга
B2 = R - D2 = 32207,19 - 10787,57 = 21419,62.
Тогда остаток долга в конце второго года будет равен
Z2= Z1 - B2 = 179792,81 - 21419,62 = 158373, 19.
В конце третьего года, т.е. при j = 3 выплаты по процентам
D3= i·Z2 = 0,06·158373,19 ≈ 9502,39,
выплаты основного долга
B3 = R - D3 =32207,19 -9502,39= 22704,8.
Тогда остаток долга в конце третьего года будет равен
Z3 = Z2 - B3 = 158373,19 - 22704,8 =135668,39.
В конце четвертого года, т.е. при j = 4 выплаты по процентам
D4 = i·Z3 = 0,06·135668,39 =8140,10,выплаты основного долга
B4 = R - D4 =32207,19 -8140,10= 24067,08.
Тогда остаток долга в конце четвертого года будет равен
Z4 = Z3 - B4 = 135668,39 - 24067,08 = 111601,31.
В конце пятого года, т.е. при j = 5 выплаты по процентам
D5 = i·Z4 = 0,06·111601,31 =6696,08,выплаты основного долга
B5 = R - D5 =32207,19 -6696,08= 25511,11.
Тогда остаток долга в конце пятого года будет равен
Z5 = Z4 - B5 = 111601,31 - 25511,11 = 86090,2.
В конце шестого года, т.е. при j = 6 выплаты по процентам
D6 = i·Z5 = 0,06·86090,2 =5165,41,выплаты основного долга
B6 = R - D6 =32207,19 -5165,41= 27041,78.
Тогда остаток долга в конце шестого года будет равен
Z6 = Z5 - B6 = 86090,2 - 27041,78= 59048,42.
В конце седьмого года, т.е. при j = 7 выплаты по процентам
D7 = i·Z6 = 0,06·59048,42=3542,91,выплаты основного долга
B7 = R - D7 =32207,19 -3542,91= 28664,28.
Тогда остаток долга в конце седьмого года будет равен
Z7 = Z6 - B7 = 59048,42 - 28664,28= 30384,14.
В конце восьмого года, т.е. при j = 8 выплаты по процентам
D8 = i·Z7 = 0,06·30384,14 =1823,05,выплаты основного долга
B8 = R - D8 =32207,19 -1823,05= 30384,14.
Тогда остаток долга в конце восьмого года будет равен
Z8 = Z7 - B8 = 30384,14 - 30384,14= 0.
Теперь проверим вычисления с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ
| кредит | 200 000,00 | |||
| срок | 8 | ежегодная выплата R | ||
| проц ставка | 6% | -32 207, 19р. | ||
| год | основные Bi | проценты Di | остатки долга Zi | |
| 0 | 200 000,00 | |||
| 1 | -20 207, 19р. | -12 000,00р. | 179 792,81р. | |
| 2 | -21 419,62р. | -10 787,57р. | 158 373, 19р. | |
| 3 | -22 704,80р. | -9 502,39р. | 135 668,39р. | |
| 4 | -24 067,08р. | -8 140,10р. | 111 601,31р. | |
| 5 | -25 511,11р. | -6 696,08р. | 86 090, 20р. | |
| 6 | -27 041,78р. | -5 165,41р. | 59 048,42р. | |
| 7 | -28 664,28р. | -3 542,91р. | 30 384,14р. | |
| 8 | -30 384,14р. | -1 823,05р. | 0,00р. | |
Задание 3
Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I0 = $ 15 000. В конце первого года доход составит R1= $ 7 000, а в конце второго года - R2= $ 12 000.
Найти при заданной ставке приведения i=10%:
1) чистый приведенный доход NPV;
2) чистый наращенный доход NFV;
3) cрок окупаемости без учета и с учетом времени;
4) внутреннюю ставку дохода.
Вычисления по формулам проверить помощью функций ЧПС и ВСД.
Решение.
Из формулы при n = 2, i = 10% найдем чистый приведенный доход n
NPV=∑ * Rk / (1+i) k-I0
k=1
NPV=7000/1,1+12000/1,12-15000=6363,64+9917,36-15000=1281
или NPV=R1*v(10%,1) +R2*v(10%,2) - I0
=7000*0,909091+12000*0,826446-15000=6363,64+9917,36-15000=1281
Заметим, что величина $ 6363,64 соответствует современной стоимости $ 7 000, а величина инвестиции $ 9 917,36 соответствует современной стоимости $ 12 000.
NFV = (1+i) 2 ·NPV = 1,12 · 1281 = 1550,01
Найдем срок окупаемости без учета времени по формуле
R1+R2+…+R [nok] +R [nok] +1=I0,
что приводит к уравнению
7000 + 12000x = 15 000.
Отсюда дробная часть срока окупаемости
x=7000/12000=0,58
Срок окупаемости равен 1 + x = 1,58.
Срок окупаемости с учетом времени по формуле:
v(i,1) R1+v(i,2) R2+…+v(i, [nok]) R [nok] +xv(i, [nok] +1) R [nok] +1=I0
приводит к уравнению
7000/1,1+12000/1,12x=15000; 7000*v(10%,1) +12000*v(10%,2) x=15000;
6363,64+9917,36x=15000; x=(15000-6363,64) /9917,36=0,87
Срок окупаемости с учетом времени поступления доходов равен 1,87.
Внутреннюю ставку дохода по определению находим из решения уравнения относительно i.
7000/(1+i) +12000/(1+i) 2=15000 или
15000х2-7000х-12000=0
где x = 1 + i. Сокращая на 1000, получим квадратное уравнение
15x2 - 7x - 12 = 0.
Положительный корень этого уравнения x1= 1,1577
Отсюда находим, что внутренняя ставка дохода
IRR = x1- 1 = 1,1577 - 1 =0,1577.
Вычисления по формулам проверим в Excel с помощью функций ЧПС и ВСД.
| Исходные данные | |||
| ставка приведения | инвестиции | доходы | |
| в конце 1 года | в конце 2 года | ||
| 10% | -15 000,00р. | 7000 | 12000 |
| Решение | |||
| приведенные доходы | 16 280,99р. | ||
| чистый приведенный доход | 1 280,99р. | ||
| внутренняя ставка дохода | 16% | ||
Задание 4
На финансовом рынке может сложиться одна из четырех ситуаций A1, A2, A3, A4.
В условиях полной неопределенности инвестор выбирает из четырех финансовых операций F1, F2, F3, F4. Доходы инвестора определяются матрицей
Определить оптимальный выбор финансовой операции по критериям Вальда и Сэвиджа.
1. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Вальда.
Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наименьшее число в каждой строке матрицы доходов:
a1= 14, a2= 8, a3= 11, a4= 12.
Согласно правилу Вальда, наибольшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 14, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.
2. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Сэвиджа.
Сначала получим из матрицы доходов матрицу рисков. Для этого в каждом столбце матрицы доходов найдем наибольшее число
b1=17, b2=18, b3=18, b4=17.
Вычитая из наибольшего значения столбца все его элементы, получаем столбец матрицы рисков. Следовательно, матрица рисков имеет вид
Q=
Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наибольший риск в каждой строке матрицы рисков:
q1= 4, q2= 9, q3= 7, q4= 6.
Согласно правилу Сэвиджа наименьшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 4, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.