(ИНЭП)
Контрольная работа по дисциплине
«Эконометрика»
Вариант 1
Выполнил:
студент группы №
Проверил:
преподаватель ИНЭП,
кандидат технических наук
Ю.М. Давыдов
г. Лосино-Петровский
2008-2009 уч. год
1. Цель работы
Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).
Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.
2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и
множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших
квадратов (МНК).
2.1 Контрольная задача № 1
2.1.1.
Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).
Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:
Таблица 1
| xi |
32 |
30 |
36 |
40 |
41 |
47 |
56 |
54 |
60 |
55 |
61 |
67 |
69 |
76 |
| yi |
20 |
24 |
28 |
30 |
31 |
33 |
34 |
37 |
38 |
40 |
41 |
43 |
45 |
48 |
2.1.2
Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):
Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;
xi
1
– предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;
ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14 (2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 32 ) (20 )
( 1 30) (24 )
( 1 36) (28 )
( 1 40 ) (30 )
(1 41 ) (31 )
( 1 47 ) (33)
X = (1 56) Y = (34 )
(1 54) (37 )
(1 60 ) (38 )
(1 55 ) (40 )
( 1 61 ) (41 )
( 1 67 ) (43)
(1 69 ) (45 )
( 1 76 ) (48 )
Значение параметров А^ = (а0
, а1
) T
и s2
– нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.
Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х-1
можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х Т
.
Получим XT
* X * A^
= X T
* Y ,
откуда A^
= (XT
* X ) –1
*( XT
* Y) (3),
где (XT
* X ) –1
- обратная матрица.
2.1.2.
Решение.
а) Найдем транспонированную матрицу ХТ
:
( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
XT
= ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 )
в) Находим произведение матриц XT
*X :
( 14 724 )
XT
* X = ( 724 40134)
г) Находим произведение матриц XT
* Y:
( 492 )
XT
* Y = ( 26907 )
д) Вычисляем обратную матрицу ( XT
* X) –1
:
( 1,064562 -0,0192 )
( XT
* X) –1
= (-0,0192 0,000371)
е) Умножаем обратную матрицу ( XT
* X) –1
на произведение
матриц (XT
*Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a 0
, a 1
)T
:
( 7,0361 )
A^ = ( XT
* X) –1
* (XT
* Y) = ( 0,543501).
Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:
уi
^
= 7,0361 + 0,543501* xi
1
(4).
уi
^
(60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646.
2.1.3
Оценка качества найденных параметров
Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R2
. Величина R2
показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R2
к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные.
Q = ∑(yi
- y¯)2
(5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; QR
= ∑(y^i
- y¯)2
(6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Qе
= ∑(yi
– y^i
)2
(7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = QR
+ Qе
(8).
Q = 847,714; QR
= 795,453; Qе
= 52,261.
Q = QR
+ Qе
= 795,453 + 52,261 = 847,714.
R2
= QR
/ Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.
R2
= 1 – Qe
/ Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.
В нашем примере коэффициент детерминации R2
, очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4).
2.2 Контрольная задача № 2
2.2.1.
Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:
Х1
– количество удобрений, расходуемых на гектар (тга);
Х2
- количество химических средств защиты растений на гектар ( цга) .
Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:
Таблица 2
| I (номер района) |
yi
|
хi 1
|
хi 2
|
| 1 |
9,7 |
0,32 |
0,14 |
| 2 |
8,4 |
0,59 |
0,66 |
| 3 |
9,3 |
0,3 |
0,31 |
| 4 |
> 9,6 |
0,43 |
0,59 |
| 5 |
9,6 |
0,39 |
0,16 |
2.2.2.
Матричная форма записи ЛММР:
Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;
хi
1
, хi
2
– предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;
Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5 (2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 0,32 0,14 ) (9,7)
( 1 0,59 0,66 ) ( 8,4
X = ( 1 0,3 0,31 ) Y = (9,3 )
( 1 0,43 0,59 ) (9,6)
(1 0,39 0,16 ) (9,6)
Значение параметров А^ = (а0
, а1
, а 2
) T
и s2
– нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.
Для нахождения параметров A^
применим формулу (3) задачи № 1
A^
= (XT
* X ) –1
* XT
* (3),
где (XT
* X ) –1
- обратная матрица.
2.2.3.
Решение.
а) Найдем транспонированную матрицу ХТ
:
( 1 1 1 1 1 )
XT
= ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )
( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13 ).
в) Находим произведение матриц XT
*X :
( 5 2,11 2,05 )
XT
* X = ( 2,11 0,932 0,94 )
( 2,05 0,94 1,101).
г) Находим произведение матриц XT
* Y:
( 46,6 )
XT
* Y = ( 19,456 )
( 18,731 ).
д) Вычисляем обратную матрицу ( XT
* X) –1
:
( 5,482 - 15,244 2,808 )
( XT
* X) –1
= ( -15,244 50,118 -14,805 )
( 2,808 -14,805 7 ,977 ).
е) Умножаем обратную матрицу ( XT
* X) –1
на произведение
матриц XT
* Y и получаем вектор- столбец A^ = (a 0
, a 1
, a 2
)T
:
( 11, 556 )
A^ = (XT
* X) –1
* (XT
* Y) = ( -5, 08 )
( 0, 0219 )
Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:
yi
^
= 11,456 - 5,08 * xi
1
- 0,0219 * xi
2
(4) .
2.2.4.
Оценка качества найденных параметров
Для оценки качества найденных параметров а^0
, a^1
.a^2
необходимо найти оценку дисперсии по формуле
1
s^2
= ------------ (Y – X * A^)T
* (Y – X * A^),
k – n - 1
после чего можно найти среднеквадратические ошибки SL
по формуле SL
= s^√hii
, где hii
элементы главной диагонали матрицы (XT
* X) –1
.
А. Произведение матриц X * A^:
( 9,833 )
( 8,472 )
Y^
=X * A^ = ( 9,536 )
( 9,283 )
(9,476 ).
Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) :
( -0,132 )
( - 0,072 )
( Y - X * A^ ) =(-0,036 )
( 0,116 )
( 0,0835 ).
В. ( Y - X * A^ )T
= (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )
Г. Произведение ( Y - X * A^ )T
* ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .
С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2
1 1
s^2
= ------------ (Y – X * A^)T
*(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.
k – n - 1 2
s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .
Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:
S 0
= 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;
S 1
= 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;
S 2
= 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .
Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.
3. Контрольная задача № 3
Оценки параметров трендовой модели.
3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно
произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.
Таблица 3
| Год |
Объем розничного товарооборота, млрд. руб. |
Темп роста по годам, % |
Абсолютный прирост по годам, млрд. руб. |
| 1 |
2 |
3 |
4 |
| 1 |
18,4 |
- |
- |
| 2 |
18,9 |
103,5 |
0,5 |
| 3 |
19,8 |
105,3 |
0,9 |
| 4 |
20,3 |
102,6 |
0,5 |
| 5 |
21,1 |
104,4 |
0,8 |
| В среднем |
19,7 |
103,9 |
0,67 |
3.2.
Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а0
, а1
, а2
, а3
, так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а2
и а3
.
Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1, будут иметь следующий вид:
( 1 1 1 1 ) (1,84E+10 )
( 1 2 4 8 ) ( 1,89E+10 )
X = ( 1 3 9 27) Y = ( 1, 98E+10)
( 1 4 16 64) (2, 03E+10)
( 1 5 25 125) ( 2,11E+10 )
Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:
(а0
) ( 1,79E+10 ) (1, 838E+10 )
(а1
) ( 3,976E+08 ) ( 1,899E+10 )
 = (а2
) = ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 )
(а3
) (- 8,333E+06) ( 2, 039E+10)
( 2, 108E+10).
Отрицательное значение параметра а3
= - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.
3.3
. Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R2
.
Значение коэффициента детерминации R2
= 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели
yt
(млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t2
– 0,008333*t3
.