Розклад числа на прості множники

Реферат на тему:

Розклад числа на прості множники

Означення.

Розкладом

натурального числа n
на прості множники

(факторизацією

числа) називається представлення його у вигляді n
= , де pi

– взаємно прості числа, ki
³ 1 .

Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту.

Означення.

Розбиттям

числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n
= a
* b
, де a
, b
– натуральні числа, більші за 1 (не обов’язково прості).

Метод Ферма

Нехай n
– складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x
та y
, що n
= x
2
– y
2
. Після чого дільниками числа n
будуть a
= x
– y
та b
= x
+ y
: n
= a
* b
= (x
– y
)(x
+ y
).

Якщо припустити що n
= a
* b
, то в якості x
та y
(таких що n
= x
2
– y
2
) можна обрати

,

Приклад.
Виберемо n
= 143 = 11 * 13.

Тоді x
= (13 + 11) / 2 = 12, y
= (13 – 11) / 2 = 1.

Перевірка: x
2
– y
2
= 122
– 11
= 143 = n
.

Теорема.
Якщо n
= x
2
– y
2
, то < x
< (n
+ 1) / 2.

Доведення.
З рівності n
= x
2
– y
2
випливає, що n
< x
2
, тобто < x
.

Оскільки a
= n
/ b
, то . Максимальне значення x
досягається при мінімальному b
, тобто при b
= 1. Звідси x = < .

Отже для пошуку представлення n
= x
2
– y
2
слід перебрати всі можливі значення x
із проміжку [, (n
+ 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x
2
- n
повним квадратом.

Приклад.
Розкласти на множники n
= 391 методом Ферма. = 19.

202
– 391 = 9 = 32
. Маємо рівність: 391 = 202
– 32
.

Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23.

Алгоритм Полард - ро факторизації числа

У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n
. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики.

Ідея алгоритма Полард – ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f
з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність xi
наступним чином: x
0
оберемо довільним із Zn
, а xi
+1
= f(xi
) mod n
, i
³ 0. Оскільки xi
можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n
), то існують такі цілі n
1
та n
2
(n
1
< n
2
), що = . Враховуючи поліноміальність f
, для кожного натурального k
маємо: =, тобто починаючи з індекса i
= n
1
послідовність {xi
mod n
} буде періодичною.

Приклад.
Нехай n
= 21, x
0
= 1, xi
+1
= + 3 mod 21.

Тоді послідовність xi
має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10, ... .

Таким чином x
3
= x
6
, період послідовності дорівнює 3.

Послідовність xi
можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру r, тому метод який застосовується в алгоритмі називається r – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так:

Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i
> 0 значення d
= НСД(x
2i
– xi
, n
). Якщо на деякому кроці d
> 1, то це і є нетривіальний дільник числа n
.

Побудуємо послідовність елементів xi
наступним чином:

x
0
= 2, xi
+1
= f(xi
) = ( + 1) mod n
, i
> 0

Алгоритм

Вхід: натуральне число n
, параметр t
³ 1.

Вихід: нетривіальний дільник d
числа n
.

1. a
= 2, b
= 2;

2.
for i
¬ 1 to t
do

2.1. Обчислити a
¬ (a
2
+ 1) mod n
; b
¬ (b
2
+ 1) mod n
; b
¬ (b
2
+ 1) mod n
;

2.2. Обчислити d
¬ НСД(a
- b
, n
);

2.3. if 1 < d
< n
return (d
); // знайдено нетривіальний дільник

3. return (False); // дільника не знайдено

Вважаємо, що функція f(x
) = (x
2
+ 1) mod n
генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n
необхідно виконати не більш ніж O() операцій модулярного множення.

Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t
ітерацій, то замість функції f(x
) = (x
2
+ 1) mod n
можна використовувати f(x
) = (x
2
+ c) mod n
, для деякого цілого c, c ¹ 0, -2.

Приклад.
Нехай n
= 19939.

Послідовність xi
: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... .

a	b	d
2	2	1
5	26	1
26	19672	1
677	12391	1
19672	15217	1
11473	15217	1
12391	15217	157

Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.

Нехай n
= 143. Послідовність xi
: 2, 5, 26, 105, 15, ... .

a	b	d
2	2	1
5	26	НСД(21, 143) = 1
26	15	НСД(11, 143) = 11

Знайдено розклад 143 = 11 * 13.

Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа

Твердження.
Нехай x
та y
– цілі числа, x
2
º y
2
(mod n
) та x
¹ ±y
(mod n
). Тоді x
2
– y
2
ділиться на n
, при чому жоден із виразів x
+ y
та x
– y
не ділиться на n
. Число d
= НСД(x
2
– y
2
, n
) є нетривіальним дільником n
.

Теорема.
Якщо n
– непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x
та y
, що x
2
º y
2
(mod n
), при чому x
¹ ± y
(mod n
).

Доведення.
Нехай n
= n
1
* n
2
– добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y
, що НСД(y
, n
) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:

Розв’язком системи будуть такі x
та y
за модулем n
= НСК(n
1
, n
2
), що x
2
º y
2
(mod n
). Якщо при цьому припустити, що x
º – y
(mod n
), то з другого рівняння системи маємо: y
º

; – y
(mod n
2
), або 2 * y
= 0 (mod n
2
). Оскільки було обрано НСД(y
, n
2
) = 1, то з останньої рівності випливає що n
2
ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n
.

Приклад.
Виберемо n
1
= 11, n
2
= 13 – взаємно прості числа. Тоді n
= 11 * 13 = 143. Покладемо y
= 5, НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:

або

Розв’язком системи буде x º 60 (mod 143).

Має місце рівність 602
º 52
(mod 143) , при чому 60 ¹ ±5 (mod 143).

Тоді дільником числа n
буде d
= НСД(60 – 5, 143) = 11.

Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:

Нехай F
= {p
0
, p
1
, p
2
, …, pt
} – множникова основа, pi
– різні прості числа, при чому дозволяється обрати p
0
= -1. Побудуємо множину порівнянь

º zi
,

таку що значення zi
є повіністю факторизованими у множині F
:

,

та добуток деякої підмножини значень zi
є повним квадратом:

z
= = y
2
, y
Î Z, fi
Î {0, 1}

Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x
= і перевіривши виконання нерівності x
¹ ± y
(mod n
), отри маємо x
2
º y
2
(mod n
). Число d
= НСД(x
2
– y
2
, n
) є нетривіальним дільником n
.

Приклад.
Знайти дільник числа n
= 143.

Обираємо випадково число x
Î [2, 142], обчислюємо x2
(mod 143) та розкладаємо результат на множники:

1. z1
= 192
(mod 143) = 75 = 3 * 52
.

2. z2
= 772
(mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.

3. z3
= 292
(mod 143) = 126 = 2 * 32
* 7.

4. z4
= 542
(mod 143) = 56 = 23
* 7.

Можна помітити, що добуток z3
та z4
є повним квадратом:

z = z3
* z4
= 24
* 32
* 72
= (22
* 3 * 7)2
= 842

Маємо рівність:

z3
* z4
= 292
* 542
º 842
(mod 143)

або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) º 136, маємо:

1362
= 842
(mod 143), при чому 136 ¹ ±84 (mod 143)

Дільником числа n
= 143 буде d
= НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.

Квадратичний алгоритм факторизації

Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N
може бути розкладено на множники за час .

Нехай n
– число, яке факторизується, m
= . Розглянемо многочлен

q(x
) = (x
+ m
)2
- n

Квадратичний алгоритм обирає ai
= x
+ m
(x
= 0, ±1, ±2, …), обчислює значення bi
= (x
+ m
)2
– n
та перевіряє, чи факторизується bi
у множниковій основі F
= {p
0
, p
1
, p
2
, …, pt
}.

Помітимо, що = (x
+ m
)2
– n
º (x
+ m
)2
(mod n
) º bi
(mod n
).

Алгоритм

Вхід: натуральне число n
, яке не є степенм простого числа.

Вихід: нетривіальний дільник d
числа n
.

1. Обрати множникову основу F
= {p
0
, p
1
, p
2
, …, pt
}, де p
0
= -1, pi
– i
- те просте число p
, для якого n
є квадратичним лишком за модулем p.

2. Обчислити m
= [].

3. Знаходження t
+ 1 пари (ai
, bi
).

Значення x
перебираються у послідовності 0, ±1, ±2, … .

Покласти i
¬ 1. Поки i
£ t
+ 1 робити:

3.1. Обчислити b
= q(x
) = (x
+ m
)2
– n
та перевірити, чи розкладається b
у множниковій основі F
. Якщо ні, обрати наступне x
та повторити цей крок.

3.2. Нехай b
= . Покласти ai
= x
+ m
, bi
= b
, vi
= (vi
1
, vi
2
, …, vit
), де vij
= eij
mod 2, 1 £ j
£ t
.

3.3. i
¬ i
+ 1.

4. Знайти підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що = 0.

5. Обчислити x
= mod n
.

6. Для кожного j, 1 £ j
£ t
, обчислити lj
= () / 2.

7. Обчислити y
= mod n
.

8. Якщо x
º ±y
(mod n
), знайти іншу підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що = 0 та перейти до кроку 5.

9. Обчислити дільник d
= НСД(x
– y
, n
).

Приклад.
Розкласти на множники n
= 24961.

1. Побудуємо множникову основу: F
= {-1, 2, 3, 5, 13, 23}

2. m
= [] = 157.

3. Побудуємо наступну таблицю:

i	x	q(x )	факторизація q(x )	ai	vi
1	0	-312	-23 * 3 * 13	157	(1, 1, 1, 0, 1, 0)
2	1	3	3	158	(0, 0, 1, 0, 0, 0)
3	-1	-625	-54	156	(1, 0, 0, 0, 0, 0)
4	2	320	26 * 5	159	(0, 0, 0, 1, 0, 0)
5	-2	-936	-23 * 32 * 13	155	(1, 1, 0, 0, 1, 0)
6	4	960	26 * 3 * 5	161	(0, 0, 1 ,1, 0, 0)
7	-6	-2160	-24 * 33 * 5	151	(1, 0, 1, 1, 0, 0)

4. Виберемо T = {1, 2, 5}, оскільки v
1
+ v
2
+ v
5
= 0.

5. Обчислимо x = (a
1
a
2
a
5
) (mod n
) = 936 = 26
* 34
* 132
.

6. l
1
= 1, l
2
= 3, l
3
= 2, l
4
= 0, l
5
= 1, l
6
= 0.

7. y
= -23
* 32
* 13 (mod n
) = 24025.

8. Оскільки 936 º –24025 (mod n
), необхідно шукати іншу множину T.

9. Виберемо T = {3, 6, 7}, оскільки v
3
+ v
6
+ v
7
= 0.

10. Обчислимо x = (a
3
a
6
a
7
) mod n
= 23405 = 210
* 34
* 56
.

11. l
1
= 1, l
2
= 5, l
3
= 2, l
4
= 3, l
5
= 0, l
6
= 0.

12. y
= -25
* 32
* 53
(mod n
) = 13922.

13. 23405 ¹ ±13922 (mod n).

d
= НСД(x
– y
, n
) = НСД(9483, 24961) = 109 – дільник.

Відповідь: 109 – дільник 24961.