Реферат на тему:
Власні числа
та
власні вектори матриці
лан
Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.
Характеристичне рівняння.
Властивості власних векторів і власних значень.
Означення.
Ненульовий вектор
який задовольняє умові
, (1)
називається власним вектором
лінійного перетворення
а число
власним значенням
. Говорять, що власний вектор
відповідає власному значенню
Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення
має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору кінцевого виміру
Якщо в просторі
вибраний базис, то рівність (1) можна записати в координатах як
що зв’зує матрицю
перетворення
і координатний стовпчик
вектора
або
(2)
де
одинична матриця
В розгорнутому вигляді (2) можна записати так:
(2/
)
Із рівності (4.18/
) знаходимо координати
власного вектора
Це система
лінійних алгебраїчних рівнянь з
невідомими. Оскільки власний вектор
ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (2/
) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто
(3)
Рівняння (3) називається характеристичним рівнянням
. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення
Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.
Знайшовши із рівняння (3) всі власні значення
, ми кожне із них підставляємо в систему (2/
) і знаход
, що відповідають цим власним значенням.
Приклад
. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення
що задається в деякому базисі матрицею
Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (3)
, тоді
і власні значення матриці
Нехай
власний вектор, що відповідає власному значенню
Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (2/
)
загальний розв’язок якої буде
Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи
і
одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню
і
причому
Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.
10
. Власні вектори
, що відповідають попарно різним власним значенням
, лінійно незалежні.
20
. Якщо
і
матриці лінійного перетворення
в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто
30
. Якщо деяке власне значення
перетворення
є коренем характеристичного рівняння кратності
то йому відповідає не більше
лінійно незалежних власних векторів.
40
. Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.
50
. Матриця лінійного перетворення
в базисі
має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.
60
. Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці
різні, то існує така матриця
із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця
діагональна.