Гидростатическое давление и его свойства

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатическое давление и его свойства
Уравнения гидростатики
Некоторые понятия в гидростатике
Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности
Плавание тел

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатическое давление и его свойства

Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы жидкости в состоянии равновесия и распределение давления покоящейся жидкости на различные поверхности.

Рассмотрим основное понятие гидростатики — гидростатическое давление. На рис. 2.1 представлен некоторый произвольный объем покоящейся жидкости. Разделим этот объем плоскостью ВС
на две части — I и II. В плоскости ВС
выделим площадь ω
с центром в точке А.
Давление со стороны части I объема будет передаваться на поверхность ВС
с силой Р
.

Гидростатическим давлением Р называется сила давления жидкости на единицу площади ω, и его можно представить формулой

(2.1)

рис. 2.1

Гидростатическое давление имеет размерность в системе СИ Паскаль (Па). Оно обладает тремя свойствами.

Первое свойство. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует.

Второе свойство. Гидростатическое давление в точке действует одинаково по всем направлениям и может быть выражено соотношением

Px =Py =Pz =Pn

(2.2)

Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве и может быть записано следующим образом:

P=f (x, y, z)

(2.3)

Уравнения гидростатики

При изучении законов покоящейся жидкости рассмотрим три уравнения: а) основные дифференциальные уравнения равновесия; б) уравнения гидростатического давления; в) уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под воздействием сил тяжести.

а. Основные дифференциальные уравнения равновесия Л. Эйлера выведены в Российской Академии наук в 1755 г. Уравнения выражают связь между массовыми (объемными) силами, давлением и координатами любой точки жидкости в состоянии равновесия.

Не приводя вывода уравнений, поясним ход рассуждений.

В покоящейся жидкости выделяется какой-либо объем. В данном примере на рис. 2.2 рассматривается параллелепипед с гранями ab
с
d
и a
'
b
'
c
'
d
'.
На выделенный объем действуют силы поверхностного суммарного гидростатического давления и массовые (объемные) силы. Жидкость находится в равновесии, следовательно поверхностные и массовые силы должны уравновешиваться, т. е. сумма этих сил должна быть равна нулю.

рис. 2.2

ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ. Силы суммарного гидростатического давления по оси х
с учетом приращения дРх
будут равны

(2.4)

Напомним, что силы, направленные по оси, положительны, а про­тив оси — отрицательны. Аналогично можно получить величины по оси у
и z
.

МАССОВЫЕ (ОБЪЕМНЫЕ) СИЛЫ. Объемной силой назы­вается сила, приложенная к массе жидкости в объеме параллелепи­педа. Такой силой может быть сила тяжести p
=
mg
.
При постоянной плотности масса жидкости выделенного объема равна m
= r
dxdydz
.
В гидравлике проекции ускорения объемных сил, отнесенных к единице массы, обозначаются X
,
Y
,
Z
.
Таким образом, по оси x можно записать

dPx = Xrdxdydz

(2.5)

Сумма поверхностных и массовых сил по оси x будет равна

Px dydz – Px dydz - dxdydz + Xrdxdydz = 0

Производя сокращения и отнеся все члены уравнения к единице массы, т. е. разделив на величину массы rdxdydz
, и учитывая второе свойство гидростатического давления, получим уравнения Л. Эйлера по всем осям

	(2.6)

<

	(2.7)

Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем: изменение гидростатического давления в направлении какой-либо оси, отнесенное к плотности, равняется проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на ту же ось.

б. Уравнение гидростатического давления можно получить из уравнений Л. Эйлера. Если умножить каждый его член на r
dx
, r
dy
и rdz
и сложить их, то получим

(2.8)

Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления

dP = r ( Xdx + Ydy + Zdz )

(2.9)

Из последнего уравнения гидростатического давления видно, что давление зависит от плотности жидкости и бывает больше для плотных жидкостей.

В случае, если имеется поверхность равного давления, Р
=const и dP
=0, поскольку r
не равно 0, то уравнение в случае равного давления имеет вид

Xdx + Ydy + Zdz =0

(2.10)

в. Уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме следующее:

dP = r ( Xdx + Ydy + Zdz )

Интегрируя данное уравнение, можно его использовать для различных случаев покоя жидкости. Рассмотрим частный случай, когда жидкость находится в покое под действием силы тяжести. На рис. 2.3 на поверхности жидкости наметим точку в
, в которой давление Р0
. Начало координат совместим с точкой в
, а ось z
направим вниз. Выделим точку а
, в которой жидкость находится под действием силы тяжести, равной весу р=
mg
. Примем массу m
=1, тогда p
=
g
, т. е. единичная массовая сила будет равна ускорению. Проекции этой силы на ось x
и y
будут равны 0: X
=0; Y
=0. Проекция силы тяжести на ось z
=
g
, т. к. направление оси совпадает с направлением силы тяжести вниз, к центру Земли.

рис. 2.3

Согласно уравнению гидростатического давления dP будет равно

dP=rgdz

(2.11)

Интегрируем это уравнение в пределах от Р0
до Р
и от z0
до z

получим

P – P0 =rg(z-z0 )

(2.12)

Из рис. 2.3 видно, что глубина погружения точки а
относительно свободной поверхности h
=
z
–
z
0
. Поэтому можем записать

P – P 0 =r gh

(2.13)

P = P 0 - rgh

(2.14)

Последняя формула является уравнением гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести.

Если свободная поверхность жидкости соприкасается с атмосферой, то Р0
=Ра
и полное гидростатическое давление будет иметь вид

Р=Ра +r gh

(2.15)

Из уравнения гидростатического давления следует закон Паскаля: давление, воспринимаемое жидкостью, передается во все точки жидкости с одинаковой силой.

Избыточным, или манометрическим, давлением называется превышение давления над атмосферным

Ризб = rgh

(2.16)

Некоторые понятия в гидростатике

а. Пьезометрическая высота давления. На рис. 2.4 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой давление Р>Ра
. К стекам сосуда подведены две открытые трубки, называемые пьезометрами («пьезо» - греческое слово – давление, «метр» - измерение). Трубки А
и В
расположены на разных уровнях z
А
и z
В
от плоскости сравнения 0-0
. Жидкость в точках А
и В
, которая находится под давлением Р
, поднимется по пьезометрам и, испытывая атмосферное давление Ра
, остановится на одной плоскости 0’-0’
, называемой напорной плоскостью.