Пошукова робота на тему:
Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.
П
лан
Інтегрування частинами
Інтегрування часток
Заміна змінної
1
. Інтегрування частинами
Нехай
і
– диференційовані функції
на
Тоді
або
Звідси
(8.16)
Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.
Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій :
де
–поліном ,
– раціональна функція
. Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за
, а що – за
.
Інтегруючи вирази вигляду
,
, після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 40
і 50
, одержимо інтеграли вигляду
, де
- одна з функцій
в яких слід за
брати
,
бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів
. В інтегралах
, де
- одна з функцій
вигідно за
брати
. В інших випадках вибір
здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти
за
, хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати .
Інтегруючи вирази
, доцільно за
взяти
. Знаходження
із співвідношень
теж здійснюється інтегрування частинами .
Для прикладу знайдемо
Приймаючи
, а
, знайдемо
Далі матимемо
, тобто дістанемо інтеграл
.
Знову, взявши
, знайдемо
. Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно
та
:
Звідси
Приклад 1
.
Позначивши
,
одержимо
. Звідси
. (8.17)
Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що
, можна поступово знайти
, де
– ціле число,
більше за одиницю . Наприклад, при
Звідси
.
Приклад 2.
.
Нехай
Тоді
і
У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був .
Знайдемо тепер
. Маємо
.
Звідси
Отже , на основі формули (8.16) одержимо
Враховуючи значення
, знаходимо
.
Приклад 3.
Із останньої рівності одержимо
.
Обчислимо тепер
Звідси
.
Остаточно з урахуванням
, матимемо
Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції
, застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою
, про що мова буде іти пізніше.
2
. Інтегрування часток
Через те , що
то
. (8.18)
Користуючись цим , стають очевидними такі формули :
.
Нехай маємо
, причому
, де
– довільне дійсне число. Тоді
.
Розглянемо інтеграл вигляду
якщо
, то
, (8.19)
де
.
Приклади
.
1.
.
2.
.
3.
.
Через те що
, то
.
3
. Заміна змінної
Нехай потрібно обчислити інтеграл
причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує.
Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі
де
неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді
і в цьому випадку має місце формула
(8.20)
Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість
буде підставлено його вираз через
Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за
від обох частин рівності рівні між собою:
Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.
Отже, похідні за
від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.
Функцію
потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20).
Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися .
Не можна дати універсальних замін змінних , які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду
застосувати відповідно такі заміни змінних:
або
або
.
За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних .
Приклади
.
1.
. Підстановка
зводить інтеграл до такого :
2.
. Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної
.Тоді
і інтеграл набере вигляду