Пошукова робота на тему:
Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.
П
лан
Властивості степеневих рядів
Неперервність суми
Інтегрування степеневих рядів
Диференціювання степеневих рядів
1. Властивості степеневих рядів
Теорема 1
(неперервність суми степеневого ряду). Сума
степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.
Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне
Тоді числовий ряд з додатними членами
(13.49)
збігається. Але при
члени ряду (13.39) за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (13.39) рівномірно збігається на відрізку
і його сума буде неперервною на цьому відрізку.
Наслідок.
Якщо границі інтегрування
,
лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду , то за теоремою 3 (п.13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку
, оскільки він буде рівномірно збігатися на
, що містить проміжок
(
).
Теорема 2
(диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39)
має інтервал збіжності
, то ряд
(13.50)
одержаний почленним диференціюванням ряду (13.39), має той же інтервал збіжності
; при цьому сума ряду (13.50)
де
сума ряду (13.39).
Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку
який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.
Для цього візьмемо деяку точку
таку, що
В цій точці ряд (13.39) збігається, значить
а тому можна вказати таке постійне число
що
. Якщо
то
де
Таким чином, члени ряду (13.50) при
за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:
За ознакою Даламбера цей ряд збігається:
Отже, ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку
і за теоремою 4 (п.13.9.3) його сума є похідна від суми даного ряду на відрізку
, тобто
Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу
можна помістити в деякий відрізок
то звідси випливає, що ряд (13.50) збігається в довільній
Доведемо тепер, що ряд (13.50) розбігається поза інтервалом
Припустимо, що ряд (13.50) збігається при деякому
Інтегруючи його почленно в інтервалі
де
ми одержали б, що ряд (13.39) збігається в точці
а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал
є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.
Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:
Наслідок.
Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі
то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал
Приклад 1.
Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.
а)
; б)
.
Р о з в ‘ я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44)
.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при
При
:
розбігається, тому що
При
:
розбігається (не виконується
необхідна умова збіжності). Отже, ряд збігається при
б) За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності
При
:
.
Оскільки
, то
знакочергуючий ряд розбігається.
При
:
розбігається (не виконується
необхідна ознака збіжності. Інтервал збіжності даного ряду
Приклад 2.
Знайти суму ряду
Р о з в ‘ я з о к. Позначимо суму цього степеневого ряду через
Радіус збіжності даного ряду
а інтервал збіжності
Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :
Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку
і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником
а тому сума
Зауважимо, що
Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:
Оскільки
то
і сума заданого ряду