З дисципліни”Основи дискретної математики”
На тему: Алгоритм
Дейкстра
Зміст
1.Вступ…………………………………………………………………………………..…………3 2.Елементи теорії графів:Основні визначення……………………………………………………………..…………..3 Ізоморфізм, гомеоморфізм……………………………………………………….…………4 Шляхи і цикли…………………………………………………………………….…………5 Дерева………………………………………………………………………………………..5 Цикломатичне число і фундаментальні цикли……………….……….…………………..8 Компланарні графи ………………………………………………………………..……….8 Розфарбування графів………………………………………………………………….….10 Графи з атрибутами ……………………………………………………………….………12 Незалежні безлічі і покриття ………………………………………………………..……12 3.Задача знаходження мінімального шляху в графах: Алгоритм Дейкстра…………………………………………………………….….………14 Текст програми написаної на основі алгоритму Дейкстра………………………..…….15 Результат виконання програми…………………………………………………………...17 Графічне зображення початкового графа та дерево мінімальних шляхів після виконаннярограми……………………………………………………………….……..…18 4.
5
|
1. Вступ
Останнім часом дослідження в областях, що традиційно відносяться до дискретної математики, займають усе більш помітне місце. Поряд з такими класичними розділами математики, як математичний аналіз, диференціальні рівняння, у навчальних планах спеціальності "Прикладна математика" і багатьох інших спеціальностей з'явилися розділи по математичній логіці, алгебрі, комбінаториці і теорії графів. Причини цього неважко зрозуміти, просто розглянувши задачу, розв'язувану пошуку найкоротшого шляху в графі .
2. Елементи теорії графів
Основні визначення
Граф
(graph) - пари G=(V,E), де V - безліч об'єктів довільної природи, називаних вершинами
(vertices, nodes), а E - сімейство пар ei
=(vi1
, vi2
), vij
V, називаних ребрами
(edges). У загальному випадку безліч V і/чи сімейство E можуть містити нескінченне число елементів, але ми будемо розглядати тільки кінцеві графи
, тобто графи, у яких як V, так і E кінцеві.
У приведеному визначенні графа E не випадково названо сімейством пар, а не безліччю. Справа в тім, що елементи E можуть бути не унікальні, тобто можливі кратні ребра
. Існує інше, більш коректне визначення: граф визначається як трійка G=(V,E,), де V - безліч вершин, E - безліч ребер, а =(v,u,e) - тримісний предикат (булевська функція від трьох перемінних), що повертає True тоді і тільки тоді, коли ребро e інцидентне вершинам v і u. Однак такі "строгості" у нашому викладі є надмірними.
Якщо порядок елементів, що входять у ei
, має значення, то граф називається орієнтованим
(directed graph), скорочено - орграф (digraph), інакше - неорієнтованим
(undirected graph). Ребра орграфа називаються дугами
(arcs). Надалі будемо вважати, що термін "граф", застосовуваний без уточнень "орієнтований" чи "неорієнтований", позначає неорієнтований граф.
Приклад: G=(V,E); V={1,2,3,4}; E=<(1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,4)>
G
Якщо e=(v,u), те вершини v і u називаються кінцями ребра
. При цьому говорять, що ребро e є суміжним
(інцидентним
) кожної з вершин v і u. Вершини v і u також називаються суміжними (інцидентними). У загальному випадку, допускаються ребра виду e=(v,v); такі ребра називаються петлями
.
Ступінь вершини
графа - це число ребер, інцидентних даній вершині, причому петлі враховуються двічі. Оскільки кожне ребро інцидентне двом вершинам, сума ступенів усіх вершин графа дорівнює подвоєній кількості ребер: Sum(deg(vi
), i=1..|V|)=2|E|.
Граф, що не містить петель і кратних ребер, називається звичайним
, чи простим графом
(simple graph). У багатьох публікаціях використовується інша термінологія: під графом розуміється простий граф, граф із кратними ребрами називають мультиграфом
, з петлями - псевдографом
.
Деякі класи графів одержали особливі найменування. Граф з будь-якою кількістю вершин, не утримуючих ребер, називається порожнім
. Звичайний граф з n вершинами, будь-яка пара вершин якого з'єднана ребром, називається повним
і позначається Kn
(очевидно, що в повному графі n(n-1)/2 ребер).
Граф, вершини якого можна розбити на непересічні підмножини V1
і V2
так, що ніякі дві вершини, що належать тому самому підмножині, не суміжні, називається двочастковим
(чи біхроматичним, чи графом Кенига) і позначається Bmn
(m=|V1
|, n=|V2
|, m+n=|V|). Повний двочастковий
граф - такий двочастковий граф, що кожна вершина безлічі V1
зв'язана з усіма вершинами безлічі V2
, і навпаки; позначення - Kmn
. Зауваження: повний двочастковий
граф Bmn
не є повним
(за винятком B11
=K2
).
B33
Підграфом
, чи частиною
графа G=(V,E) називається такий граф G'=(V',E'), що V'V і дві несуміжні вершини в G не суміжні в G'. Повним підграфом
називається підграф, будь-яка пара вершин якого суміжна.
Основним підграфом (суграфом)
графа G називається будь-який його підграф, що містить ту ж безліч вершин, що і G.
Ізоморфізм, гомеоморфізм
Графи G1
=(V1
,E1
) і G2
=(V2
,E2
) називаються ізоморфними
(позначення: G1
~G2
), якщо між графами існує взаємо-однозначне відображення : G1
G2
(V1
V2
, E1
E2
), що зберігає відповідність між ребрами (дугами) графів, тобто для будь-якого ребра (дуги) e=(v,u) вірно: е'=(v,u)=((v),(u)) (eE1
, е'E2
). Відображення називається ізоморфним відображенням
.
Іншими словами, ізоморфні графи розрізняються тільки позначенням вершин. Ізоморфні графи. Одне з ізоморфних відображень: (0,0), (1,3), (2,5), (3,6), (4,7), (5,2), (6,1), (7,4), (8,9), (9,8).
Характеристики графів, інваріантні відносно ізоморфизмов графів (тобто приймаючі однакові значення на ізоморфних графах), називаються інваріантами графів.
Підрозділом ребра
(v1
,v2
) графи називається операція додавання в граф вершини v' і заміни цього ребра на два суміжних ребра (v1
,v') і (v',v2
): V'=V+{v'}, E'=E-{(v1
,v2
)}+{(v1
,v')}+{(v',v2
).
Граф G' називається підрозділом графа
G, якщо він може бути отриманий з G шляхом кінцевого числа підрозділів ребер.
Дві графи називаються гомеоморфними
, якщо для них існують ізоморфні підрозділи.
Шляхи і цикли
Шляхом
у графі (чи маршрутом
в орграфі) називається послідовність вершин, що чергується, і ребер (чи дуг - в орграфі) виду v
0, (v
0,v
1), v
1, ... , (vn-1
,vn
), vn
. Число n називається довжиною шляху
. Шлях без повторюваних ребер називається ланцюгом
, без повторюваних вершин - простим ланцюгом
. Шлях може бути замкнутим (v0
=vn
). Замкнутий шлях без повторюваних ребер називається циклом
(чи контуром
в орграфі); без повторюваних вершин (крім першої й останньої) - простим циклом
.
Твердження 1.
Якщо в графі існує шлях, що веде з вершини v0
у vn
, то існує і простий ланцюг між цими вершинами.
Доказ: такий простий ланцюг можна побудувати, "викинувши" зі шляху всі цикли.
~
Граф називається зв'язковим
, якщо існує шлях між будь-якими двома його вершинами, і незв'язним
- у противному випадку. Незв'язний граф складається з декількох зв'язних компонентів
(зв'язкових підграфов).
Для орграфів поняття св'язаність є більш складним: розрізняють сильну св'язаність, однобічну звязність і слабку зв’язність. Орграф називається сильно зв'язковим
, якщо для будь-яких двох його вершин v і u існує як маршрут з v у u (v->u), так і з u у v (u->v). Орграф називається односторонньо зв'язковим
, якщо для будь-яких двох його вершин u і v існує по крайньої один з маршрутів v->u чи u->v. Нарешті, орграф називається слабко зв'язковим
, якщо зв'язний неорієнтований граф, одержуваний з цього орграфа шляхом зняття орієнтації з дуг. Очевидно, що будь-який сильно зв'язний граф є односторонньо зв'язковим, а односторонньо зв'язний - слабко зв'язковим, але не навпаки.
Дерева
Деревом
називається довільний зв'язний граф без циклів.
Лема 1.
Нехай G=(V,E) - зв'язний граф, вершини v1
і v2
якого не суміжні. Тоді в графі G'=(V,E+(v1
,v2
)) існує простий цикл, що проходить через ребро (v1
,v2
).
Доказ: тому що G - зв'язний, у ньому існує шлях з v2
і v1
, а значить (по утвержденю 1),і простий ланцюг v2
...v1
. Отже, у графі G' існує шлях v2
...v1
(v1
,v2
)v2
, що є простим циклом (по визначенню).
~
Лема 2.
Нехай G=(V,E) - зв'язний граф, ребро e=(v1
,v2
) якого входить у деякий цикл. Тоді граф G'=(V,E-e) - також зв'язний, тобто при видаленні кільцевого ребра
(ребра, що входить у деякий цикл) зі зв'язного графа цей граф залишається зв'язковим.
Доказ: тому що G - зв'язний, у ньому існує шлях S між будь-якими двома вершинами vi
і vj
. Якщо e не входить у шлях S=vi
...vj
, то цей шлях існує й у графі G', а виходить, G' залишається зв'язковим. Інакше (e входить у цей шлях): S=vi
...v1
(v1
,v2
)v2
...vj
. За умовою e - входить у деякий цикл, отже, існує замкнутий шлях C=v2
(v2
,v1
)v1
Tv2
(початком замкнутого шляху ми можемо вважати будь-яку його вершину), причому ребро e=(v1
,v2
) не входить у T (якщо існує шлях між вершинами, то існує і шлях, що є простим ланцюгом - див. утвердження 1). Але тоді існує шлях S'=vi
...v1
Tv2
...vj
, у котрій не входить ребро e=(v1
,v2
) і, отже, цей шлях існує в графі G'.
~
Лема 3.
Нехай G=(V,E), p=|V|, q=|E|. 1) число зв'язних компонентів у G більше або дорівнює |V|-|E| (Nкомп.
p-q); 2) якщо в G немає циклів, то число зв'язних компонентів у G дорівнює |V|-|E| (Nкомп.
=p-q).
Доказ: побудуємо порожній граф з p вершинами (очевидно, у ньому рівно p зв'язкових компонент) і будемо додавати ребра по одному.
При додаванні ребра можливі дві ситуації: (а) нове ребро з'єднує вершини, що знаходилися до цього в різних компонентах (у цьому випадку кількість компонент зменшується на одиницю) і (б) нове ребро з'єднує вершини, що належать одному компоненту (число компонентів не змінюється). Отже, при додаванні q ребер число компонент зменшиться не більше ніж на q, і, отже, кількість компонентів у графі буде більше або дорівнює p-q. Це доводить твердження (1).
Відповідно до леми 1, при додаванні ребра в зв'язний граф у ньому з'являється цикл. Якщо в графі немає циклів, це означає, що при додаванні ребер завжди відбувався варіант (а) - інакше з'явилися б цикли. Отже, число компонентів при кожнім додаванні ребра зменшувалося на одиницю, і після додавання q ребер у графі буде рівно p-q компонент. Це доводить твердження (2).
~
Наслідок 1 леми 3:
якщо |E||V|-2, те граф G=(V,E) незв'язний (випливає безпосередньо з лемі 3).
Теорема 1.
Любою зв'язний граф містить підграф, що є деревом.
Доказ: якщо в зв'язному графі немає циклів, то він уже є деревом по визначенню. Інакше знаходимо будь-як кільцеве ребро і видаляємо його; відповідно до лемми 2 граф залишається зв'язковим. Продовжуємо процес, поки в графі існують цикли. У силу кінцівки графа цей алгоритм побудує дерево за кінцеве число кроків.
Зауваження: фактично доведене більш сильне твердження - що будь-який зв'язний граф містить основній підграф
(підграф з тією же кількістю вершин, що і сам граф), що є деревом.
~
Теорема 2.
Для будь-якого дерева G=(V,E) вірно: |V|-|E|=1.
Доказ: по визначенню, у дереві немає циклів, отже, відповідно до леми 3 у ньому рівно |V|-|E| зв'язкових компонент. Але по визначенню дерево зв'язне, тобто складається з одного зв'язного компонента, тому |V|-|E|=1.
~
Теорема 3.
Наступні властивості графів еквівалентні:
G=(V,E) - дерево;
будь-які дві вершини G з'єднані єдиним простим ланцюгом;
G - граф без циклів, у якого |E|=|V|-1;
G - зв'язний граф, у якого |E|=|V|-1;
G - зв'язний граф, але при видаленні будь-якого ребра він стає незв'язним;
G - граф без циклів, але при додаванні будь-якого ребра в ньому з'являється рівно один (з точністю до завдання початкової вершини і напрямку обходу) простий цикл.
Доказ: доведемо теорему в послідовності (1)<=>(2), (2)=>(3)=>(4)=>(5)=>(6)=>(1).
(1)=>(2):
допустимо, що деякі дві вершини v1
і v2
графа G з'єднані, принаймні, двома різними простими ланцюгами L1
=u1
....uk
, де u1
=v1
і uk
=v2
, і L2
=w1
....wm
, де w1
=v1
і wm
=v2
. З того, що ланцюги є простими і різними, випливає, що існує число j, 1<j<min(k,m), таке, що uj-1
wj-1
, uj
wj
, ... , uj+a-1
wj+b-1
, uj+a
wj+b
, де a1, b1. Отже, у G існує цикл ІЗ=uj-1
(uj-1
,uj
)uj
...uj+a
(wj+b
,wj+b-1
)wj+b-1
... wj
(wj
,wj-1
)wj-1
(див. малюнок) - одержали протиріччя з (1). (2)=>(1):
(а) граф G є зв'язковим по визначенню связаність (будь-які дві вершини графа з'єднані ланцюгом); (б) допустимо, що в графі G існує цикл, що проходить через деяку вершину v: C=v(v,u1
)u1
....uk
(uk
,v)v. Але це означає, що між v і кожної з вершин ui
існують, принаймні, два різних шляхи L1
=v(v,u1
)u1
...ui-1
(ui-1
,ui
)ui
і L2
=v(v,uk
)uk
...ui+1
(ui+1
,ui
)ui
(шляхи різні, тому що по визначенню в циклі відсутні повторювані ребра). У силу утвердження 1 з цих шляхів можна "виділити" прості ланцюги, що також будуть різні (у L1
і L2
немає співпадаючих ребер), - одержали протиріччя з (2). З (а), (б) і визначення дерева випливає, що G є деревом. (2)=>(3):
по теорема 2; (3)=>(4):
по лемма 3; (4)=>(5):
т.к. |E|=|V|-1, те після видалення ребра в новому графі буде |V|-2 ребер, і по слідству 1 лемки 3 цей граф буде незв'язним; (5)=>(6):
(a) доведемо першу частину твердження (G - граф без циклів): допустимо, у G є цикли; але тоді при видаленні будь-якого кільцевого ребра він залишиться зв'язковим, що суперечить (4); (б) доведемо другу частину твердження (при додаванні будь-якого ребра в G з'являється рівно один простий цикл): зі связаність графа і лемма 1 випливає, що при додаванні будь-якого ребра в G з'являється, як мінімум, один простий цикл; у силу (2) цей простий цикл єдиний (зворотне означало б, що в G існують вершини, з'єднані більш ніж одним простим ланцюгом); (6)=>(1):
допустимо, G - не дерево, тобто граф чи не зв'язний містить цикли. Циклів не може бути в силу (5а), тому залишається варіант: G - незв'язний і складається мінімум із двох компонентів. Але тоді при додаванні ребра між вершинами, що належать різним компонентам, цикли не утворяться, а це суперечить (5б).
~
Основним деревом (кістяком)
зв'язного графа називається будь-який його основний підграф, що є деревом.
Існування основного підграфа для будь-якого зв'язного графа доводиться теоремою 1.
Загальне число основних дерев зв'язного графа може бути дуже велика. Так, для повного графа з n вершинами воно дорівнює nn-2
(без доказу).
Граф і два його основних дерева (вилучені ребра показані пунктиром).
Для довільного (можливо, незв'язного) графа G основне дерево
визначається як будь-який його основний підграф, не утримуючих циклів і маючи стільки ж компонентів связаність, що і G.
Цикломатичне число і фундаментальні цикли
Цикломатичрим числом
графа G=(V,E) називається з k зв'язковими компонентами називається число (G)=|E|-|V|+k.
Фундаментальним циклом
графа G=(V,E) з основним деревом T=(V,E') називається простий цикл, одержуваний у результаті додавання в T одного з ребер G, не приналежного E'.
Твердження 1.
Кількість фундаментальних циклів графа G=(V,E) при будь-якому фіксованому основним дереві T=(V,E') дорівнює цикломатичному числу G.
Доказ: відповідно до лемма 3 п.2, k=|V|-|E'|, отже, <кількість ребер G, не приналежних E'> = |E|-|E'| = |E|-(|V|-k) = (G). При додаванні кожного з цих ребер у T з'являється рівно один простий цикл у силу теоремі 3 п.6; всі одержувані при цьому прості цикли різні, тому що кожний з них містить принаймні одне унікальне ребро - те саме ребро G, не приналежне E', що було додано в дерево.
~
Компланарні графи
Зіставивши вершинам графа крапки на чи площині в просторі, а ребрам - лінії, що з'єднують крапки, що відповідають кінцям ребра, можна одержати діаграму - візуальне представлення даного графа. Очевидно, що для будь-якого графа можна побудувати нескінченну кількість таких діаграм. Якщо на деякій діаграмі серед крапок, що відповідають вершинам графа, немає співпадаючих, а лінії, що відповідають ребрам графа, не мають загальних крапок (за винятком кінців), то ця діаграма називається геометричною реалізацією
графа.
Теорема 1.
Для будь-якого графа існує геометрична реалізація в тривимірному евклідовому просторі.
Доказ:
реалізуємо |V| крапок, що відповідають вершинам графа, на одній прямій;
проведемо через цю пряму |E| різних на півплощин;
реалізуємо кожне ребро у своїй на півплощині.
~
Виникає питання: чи будь-який граф можна реалізувати на площині? Відповідь - негативний. Геометричну реалізацію на площині допускають лише деякі графи; такі графи називаються компланарними.
Для наступного викладу нам знадобиться поняття грані
. Неформально визначимо грань як частина площини, на які площина "розрізається" лініями геометричної реалізації графа. Завжди існує необмежена зовнішня грань.
- 7 вершин, 8 ребер, 3 грані
Формула Ейлера.
Для будь-якої геометричної реалізації графа G=(V,E) на площині вірно: p-q+r=2, де p=|V|, q=|E|, r - число граней (без доказу).
Теорема 2.
Якщо в зв'язковому планарним графі немає циклів довжини менше k і k3, то qk(p-2)/(k-2), де p=|V|, q=|E|.
Доказ (не зовсім формальне): нехай граф реалізований на площині і при цьому вийшло r граней. Нехай qi
- число сторін у i-й грані (див. малюнок). Кожне ребро є стороною двох граней, тому 2q=Sum(qi
, i=1..r). По умови в графі немає циклів довжини менше k, але тоді qi
k (тому що сторони грані утворять цикл) і 2q=Sum(qi
, i=1..r)kr. По формулі Эйлера r=2-p+q, отже, 2qk(2-p+q), з чого випливає доказувана нерівність. - 8 ребер, 3 грані, 3+6+7=16 сторін ~
Наслідок 1 теореми 2:
для будь-якого зв'язкового пленарного графа без петель і кратних ребер виконується нерівність: q3(p-2), де p=|V|, q=|E|.
Доказ: тому що за умовою в графі немає петель і кратних ребер, у ньому немає і циклів довжини менше 3, тому, підставляючи k=3 у нерівність теоремі 2, одержуємо: qk(p-2)/(k-2)=3(p-2).
~
Теорема 3.
Граф K5
не компланарний.
Доказ: K5
зв'язний, у ньому немає петель і кратних ребер, але наслідок 1 теореми 2 не виконується - q=10>3(p-2)=9. Виходить, K5
не компланарний.
~
Теорема 4.
Граф K33
не компланарний.
Зауваження: використання наслідку 1 теореми 2 тут не допоможе, тому що q=9<3(p-2)=12.
Доказ: у K33
немає циклів довжини менше 4, тому застосуємо нерівність теоремі 2 безпосередньо (при k=4): q=9>4(p-2)/2=8. Отже, K33
не компланарний.
~
Теорема Понтрягіна-Куратовского (критерій компланарності графів).
Граф G планарин тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфов, гомеоморфних K5
чи K33
.
Доказ: необхідність випливає з тверджень 1-4 (див. нижче), а також з того факту, що графи K5
і K33
не компланарні (відповідно до теорем 3 і 4).
Твердження 1
: якщо графи U1
і U2
ізоморфні, то U1
компланарний тоді і тільки тоді, коли U2
компланарний.
Доказ: будь-яка геометрична реалізація U1
є геометричною реалізацією U2
, і навпаки.
Твердження 2
: будь-який підрозділ U' графа U компланарний тоді і тільки тоді, коли U компланарний.
Доказ: (=>) граф U' компланарний, отже, існує його геометрична реалізація на площині R'. Побудуємо по R' плоску геометричну реалізацію R графа U. Для цього об'єднаємо всі лінії R', що відповідають ребрам U', отриманим у результаті виконання операцій підрозділу ребер. У силу існування R граф U є компланарним. <=) граф U компланарний, отже, існує його геометрична реалізація на площині R. Побудуємо по R плоску геометричну реалізацію R' графа U'. Для цього повторимо в будь-якій послідовності операції підрозділу ребер, що привели до побудови U'. Після виконання кожної з цих операцій будемо розбивати лінію, що відповідає ребру, що підрозділяється, на двох ліній (розбивка можна робити в будь-якій крапці, що не збігається з кінцями лінії). У силу існування R' граф U' є компланарним. Твердження 3:
якщо графи U1
і U2
гомеоморфні, те U1
компланарний тоді і тільки тоді, коли U2
компланарний.
Доказ: (=>) за умовою U1
і U2
гомеоморфні {по визначенню} існують їхні ізоморфні підрозділи U1
' і U2
'. За умовою граф U1
компланарний {по утв.2} граф U1
' компланарний {по утв.1} ізоморфний йому граф U2
' компланарний {по утв.2}
компланарний. (<=) аналогічно.
Твердження 4:
якщо підграф U' графа U не компланарний, те U також не компланарний.
Доказ: допустимо, що граф U компланарний. Отже, існує його плоска геометрична реалізація R. Але тоді можна побудувати плоску геометричну реалізацію R' графа U': для цього досить видалити з R крапки і лінії, що відповідають тим вершинам і ребрам U, яких немає в U'. З існування R' випливає, що U' компланарний - одержали протиріччя.
Достатність теореми доводиться набагато складніше (див., наприклад, [3]).
~
Існують і інші критерії компланарності графів [3].
Розфарбування графів
Верховим розфарбуванням
(далі - просто розфарбуванням) графа називається відображення безлічі вершин графа на кінцеву безліч (безліч квітів); n-розфарбування
графа - розфарбування з використанням n квітів. Розфарбування називається правильної
, якщо ніякі дві вершини одного кольору не суміжні. Очевидно, що для графа без петель завжди існує правильне розфарбування в |V| квітів.
Хроматичним числом
графа G називається мінімальне число n=(G), таке, що існує правильне n-розфарбування.
Лема 1.
У будь-якому компланарному графі без петель і кратних ребер існує вершина ступеня не більш п'яти.
Доказ: допустимо, що ступеня усіх вершин перевершують 5. Тоді 2q=Sum(deg(vi
), i=1..|V|)p і q3p. Але по слідству 1 теореми 2 повинне виконуватися нерівність q3(p-2)<3p - одержали протиріччя.
~
Теорема про п'ять фарб.
Кожен компланарний граф без петель і кратних ребер є не більш ніж 5-хроматичним.
Доказ: (індукцією по числу вершин).
При p=1 твердження теореми вірно. Допустимо, що (*) твердження вірне для всіх p<p0
. Доведемо, що тоді воно вірно і для p0
.
Розглянемо компланарний граф G без петель і кратних ребер з p0
вершинами; по лемі 1 у ньому є вершина v0
ступеня не більш 5. По припущенню індукції (*) граф G', одержуваний видаленням з G вершини v0
(очевидно, також компланарний), може бути розфарбований не більш, ніж у 5 квітів. Нехай (**) v1
...vk
, k=deg(v0
) - усі вершини-сусіди вершини v0
, розташовані по годинній стрілці відносно v0
. Якщо в розфарбуванні вершин v1
...vk
використовується не більш 4-х квітів, то "пофарбуємо" вершину v0
у що залишився 5-й колір і одержимо правильне розфарбування.
Залишилося розглянути випадок, коли в розфарбуванні вершин v1
...vk
у графі G' використовується 5 квітів (k=5). Нехай ci
- колір вершини vi
(i=1..5). Розглянемо безліч A, що складається з вершини v1
і усіх вершин графа G, крім v0
, у котрі можна дійти з v1
тільки по вершинах квітів c1
і c3
. Можливі два випадки:
v3
A;
v3
A.
У першому випадку поміняємо кольору вершин безлічі A (c1
c3
); фарбування при цьому залишиться правильної. Дійсно, безліч A складається по визначенню з усіх
вершин квітів c1
і c3
, у котрі можна дійти з v1
, тому серед вершин, суміжних вершинам, що належать A, немає вершин квітів c1
чи c3
. Після заміни квітів вершин безлічі A вершина v1
одержить колір з3
, отже, можна використовувати колір c1
для "фарбування" вершини v0
і одержати в такий спосіб правильне розфарбування графа G.
Залишається другий випадок. З приналежності вершини v3
безлічі A випливає, що існує шлях з v1
у v3
(v1
Sv3
), що проходить тільки по вершинах квітів c1
і c3
(див. малюнок). Розглянемо цикл L=v1
Sv3
(v3
,v0
)v0
(v0
,v1
)v1
і замкнуту криву, що відповідає цьому циклу в геометричній реалізації графа. Вершина v2
знаходиться усередині цієї замкнутої кривої, а v4
- зовні. Це випливає, по-перше, з того, що лінії, що відповідають ребрам графа в його геометричній реалізації, не можуть перетинатися (не вважаючи кінців), і, по-друге, з (**).Визначимо безліч B, що складається з вершини v2
і усіх вершин графа G, крім v0
, у котрі можна дійти з v2
тільки по вершинах квітів c2
і c4
. Вершина v4
не належить B, оскільки будь-який шлях з v2
у v4
повинний проходити, принаймні, через одну вершину, що належить циклу L - тобто або через вершину v0
, або через вершину, пофарбовану в кольори c1
чи c3
. Отже, як і в першому випадку, можна поміняти кольору вершин безлічі B (c2
c4
) і "пофарбувати" v0
у c2
.
~
Теорема про чотири фарби.
Кожен компланарний граф без петель і кратних ребер є не більш ніж 4-хроматичним.
Проблема чотирьох фарб залишалася невирішеної протягом багатьох літ. Затверджується, що ця теорема була доведена за допомогою хитромудрих міркувань і комп'ютерної програми в 1976 році (Kenneth Appel and Wolfgang Haken. Every Planar Map is Four Colorable. Contemporary Mathematics 98, American Mathematical Society, 1980). Короткий виклад ідеї їхнього доказу мається в [3].
Графи з атрибутами
У багатьох випадках елементам (вершинам і ребрам) графа ставляться у відповідність різні дані - атрибути (мітки). Якщо як атрибути використовуються цілі чи речовинні числа, то такі графи називають зваженими
. Фактично, зважений граф - це функція, визначена на графі. Як атрибути можуть виступати і нечислові дані, тому я буду називати графів з атрибутами позначеними
, чи атрибутованнями
(Графами-а-графами). Наприклад, структурні формули хімічних сполук представляються молекулярними графами - А-графами, вершини яких відповідають атомам хімічної структури, а ребра - валентним зв'язкам між атомами. Для вершин молекулярного графа визначений, принаймні, атрибут "номер атома в періодичній таблиці елементів", для ребер - "тип валентного зв'язку (одинарна, подвійна, потрійна й ін.)"; можуть використовуватися додаткові атрибути, наприклад, заряд атома.
Для графів з атрибутами можна ввести посилене визначення ізоморфізму: будемо вважати дві А-графи ізоморфними, якщо вони ізоморфні в звичайному змісті, і, крім того, ізоморфне відображення зберігає атрибути (тобто атрибути відповідних вершин і ребер в обох графах збігаються).
Незалежні безлічі і покриття
Незалежна безліч вершин (НМВ)
- безліч вершин графа, ніякі дві вершини якого не інцидентні.
Максимальна незалежна безліч вершин (МНМВ)
- НМВ, що не міститься ні в якому іншому НМВ.
Зауваження: у даному визначенні "максимальність" означає "нерозширюваність"; у загальному випадку граф може мати трохи МНМВ різної потужності.
Найбільша незалежна безліч вершин
- НМВ максимальної потужності.
Потужність найбільшого НМВ (очевидно, це одне з МНМВ) називається верховим числом незалежності
графа (а також нещільністю
, числом внутрішньої
чи стійкості числом верхового упакування
графа); позначення - (G).
Незалежна безліч ребер (НМР)
, чи паросполучення
- безліч ребер графа, ніякі два ребра якого не інцидентні.
Потужність найбільшого паросполучення називається числом паросполучення
графа; позначення - (G).
Домінуюче безліч вершин (ДМВ)
- така безліч вершин графа, що кожна вершина графа або належить ДМВ, або інцидентна деякій вершині, що належить ДМВ.
Верхове покриття (ВП)
- така безліч вершин графа, що кожне ребро графа інцидентне хоча б одній вершині, що належить ДМВ.
Потужність найменшого верхового покриття
називається числом верхового покриття
графа; позначення - (G).
Домінуюче безліч ребер (ДМР)
, чи реберне покриття
- така безліч ребер зв'язного графа, що кожна вершина графа інцидентна хоча б одному ребру, що входить у ДМР.
Потужність найменшого ДМР називається числом реберного покриття
графа; позначення - (G).
На малюнку позначені реберне покритті графа (пунктиром), МНМВ (білі вершини) і верхове покриття (чорні вершини).
Величини (G), (G), (G) і (G) є інваріантами графа. Між цими інваріантами існує зв'язок, установлювана наступними лемами.
Лема 1.
Безліч S є найменшим верховим покриттям графа G=(V,E) тоді і тільки тоді, коли T=V(G)S є найбільшою незалежною безліччю вершин графа.
Доказ: (=>) 1. доведемо, що ніякі дві вершини, що входять у T, не інцидентні (тобто T є НМВ). Допустимо зворотне: (vi
,vj
)E(G), vi
T, vj
T. Але це означає, що ребро (vi
,vj
) не покривається безліччю S - протиріччя з визначенням ВП. 2. T є найбільшим НМВ у силу мінімальності |S| і тотожності |S| + |V(G)S| |V(G)|. (<=) 1. доведемо, що кожне ребро G інцидентне хоча б одній вершині S (тобто S є ВП). Допустимо зворотне: (vi
,vj
)E(G), vi
S, vj
S. Але це значить, що vi
T, vj
T - протиріччя з визначенням НМВ. 2. аналогічно доказу (=>).
~
Наслідок 1 леми 1.
Для будь-якого графа G=(V,E) сума числа верхового покриття і верхового числа незалежності постійна і дорівнює кількості вершин G: (G)+(G)=|V(G)|.
Лема 2.
Якщо граф G=(V,E) не має ізольованих вершин, то сума його числа паросполучення і числа реберного покриття постійна і дорівнює кількості вершин G: (G)+(G)=|V(G)|.
Доказ:
1) Нехай C - найменше реберне покриття G, що містить (G) ребер. Розглянемо підграф GC графа G, утворений безліччю ребер C і інцидентними вершинами G; по визначенню покриття в нього входять усі вершини G. Оскільки C є найменшим, GC складається з однієї чи більшої кількості компонентів, кожна з який є деревом (дійсно, у противному випадку можна було б "викинути" з них кільцеві ребра й одержати покриття меншої потужності). По теоремі 2 кількість ребер у кожнім компоненті GSi
графа GC на одиницю менше кількості вершин: |E(GCi
)| = |V(GCi
)| - 1. Просуммировав ці рівності для всіх i, одержимо: |E(GC)| = |V(GC)| - p, де p - кількість компонентів у GС, отже, p = |V(G)| - (G). З іншого боку, якщо взяти по одному ребру з кожного компонента GC, одержимо деяке паросполучення, отже, (G) p = |V(G)| - (G) і (G) + (G) |V(G)| (*).
2) Нехай M - найбільше паросполучення G, що містить (G) ребер. Розглянемо безліч U вершин графа G, не покритих М. З визначення паросполучення випливає, що |U| = |V(G)| - 2|M| = |V(G)| - 2(G). Безліч U є незалежним (дійсно, якби дві довільні вершини U "зв'язувалися" ребром, то можна було б додати це ребро M і одержати паросполучення більшої потужності). Оскільки G за умовою не має ізольованих вершин, для кожної вершини, що входить у U, існує ребро, що покриває неї. Позначимо безліч таких ребер через S. Безлічі M і S не перетинаються, тому |M S| = |M| + |S| = (G) + |U| = |V(G)| - (G). Об'єднання M і S є реберним покриттям графа по визначенню, отже, (G) |M S| = |V(G)| - (G) і (G) + (G) |V(G)| (**).
З нерівностей (*) і (**) випливає результат леми.
~
Подальші результати справедливі тільки для двочасткових графів.
Теорема 1 (мінімаксная теорема Кеніга).
Якщо граф G є двочастковим, то (G) = (G).
(без доказу)
Визначення: зроблене паросполучення (1-фактор)
- паросполучення, що покриває усі вершини графа.
Нехай X - довільна підмножина вершин графа G=(V,E). Позначимо через (X) безліч вершин G, інцидентних вершинам X.
Теорема 2 (теорема про весілля).
Якщо G - двочастковий граф з частками P1
і P2
, то G має зроблене паросполучення тоді і тільки тоді, коли |P1
| = |P2
| і, принаймні, одне з Pi
(i=1..2) володіє тим властивістю, що для будь-якого X Pi
виконується нерівність |X| |(X)|.
(без доказу)
Назва теореми зв'язана з наступною "несерйозною" задачею: визначити, чи можливо "переженити" групу юнаків і дівчин так, щоб усі залишилися задоволені. Якщо допустити, що всі "симпатії" взаємні (припущення, прямо скажемо, нереалістичне), то задача зводиться до перебування зробленого паросполучення в двочастковому графі, вершини однієї з часток якого відповідають юнакам, іншої - дівчинам, і дві вершини зв'язані ребром тоді і тільки тоді, коли юнак і дівчина подобаються один одному.
2.Задача знаходження мінмального шляху в графах
:
Алгоритм Дейкстра
Розглянемо задачу про найкоротший шлях. Нехай G=(V,E) - зважений зв'язний граф з ненегативними вагами ребер (дуг). Вага f(e) ребра e інтерпретуємо як відстань між вершинами, суміжними даному ребру. Для заданої початкової вершини s і кінцевої вершини t шукається простий ланцюг, що з'єднує s і t мінімальної ваги. (s,t) - ланцюг мінімальної ваги називають найкоротшим (s,t) - шляхом. Очевидно, рішення задачі існує. Опишемо один з можливих алгоритмів рішення (Е. Дейкстра, 1959 р.).
Ініціалізація:
усім вершинам vi
приписується мітка - речовинне число: d(s)=0, d(vi
)=+ для всіх vi
s;
мітки усіх вершин, крім s, вважаються тимчасовими, мітка s - постійної;
вершина s з'являється поточної (c:=s);
усі ребра (дуги) вважаються непоміченими.
Основна частина:
для усіх вершин uj
, інцидентних поточній вершині c, мітки яких є тимчасовими, перераховуємо ці мітки по формулі: d(uj
):=min{d(uj
), d(c)+Weight(c,uj
)} (*), де (c,uj
) - ребро (дуга), що з'єднує вершини c і uj
, а Weight(c,uj
) - її вага; при наявності кратних ребер вибирається ребро з мінімальною вагою;
якщо мітки усіх вершин є постійними або рівні , те шлях не існує; ВИХІД("немає рішення");
інакше знаходимо серед вершин з тимчасовими мітками (серед усіх таких вершин, а не тільки тих, чиї мітки змінилися в результаті останнього виконання кроку (1)!) вершину x з мінімальною міткою, повідомляємо її мітку постійної, позначаємо ребро (дугу) (с',x), таке, що d(x) = d(с')+Weight(с',x), де с'=з або с' - вершина, що була поточної на одному з попередніх кроків (с'=з, якщо на кроці (1) при uj
=x реалізувалася друга частина формули (*)), і робимо цю вершину поточної (c:=x);
якщо c=t, то знайдений шлях довжини d(t), якому можна відновити в такий спосіб: це той шлях між s і t, що складається тільки з позначених на кроці (3) ребер (дуг) (можна довести, що він існує й единий); ВИХІД("рішення знайдене");
інакше переходимо на крок (1).
Алгоритм можна модифікувати так, щоб він закінчував роботу після одержання усіма вершинами графа G постійних міток, тобто знаходяться найкоротші шляхи з s в усі вершини графа. Алгоритм визначить основне дерево D найкоротших шляхів з вершини s. Для будь-якої вершини v єдиний (s,v) - шлях у дереві D буде найкоротшим (s,v) - шляхом у графі G.
Алгоритм Дейкстра не завжди знаходить правильне рішення у випадку довільних ваг ребер (дуг) графа. Наприклад, для орграфа, зображеного на малюнку, алгоритм Дейкстра знайде маршрут s(s,t)t довжини 1 між вершинами s і t, а не мінімальний маршрут довжини 2+(-2)=0, що проходить через третю вершину графа.
Приклад орграфа, для якого не будем застосовувати алгоритм Дейкста.
Текст програми написаної на основі алгоритму Дейкстра
/* Алгоритм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі */
/* Е.Дейкстра 1959 р. */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <float.h>
int load_matrix(int n, double* weigh); /* Уведенняматриціваг */
int deik(int n, int s, double* weigh, int* Q, double* L); /* Алгоритмпошуку */
void print(int n, int* Q, double* L); /* Висновокрезультату */
void main(void){
int n=0,s=0,ret=0;
double *weigh;
int* Q; /* Масив міток покажчиків на попередню вершину */
double* L; /* Масив найдених ваг шляху до вершини */
printf("nАлгоpитм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі.n");
printf("Е.Дейкстpа, 1959 р.n");
printf("nВведіть кількість вершин..");
scanf("%d",&n);
if (n <= 1){
printf("nКількість вершин повинне бути більше одиниці!n");
exit(1);
}
printf("nВведіть початкову вершину..");
scanf("%d",&s);
s--;
if ((s < 0)||(s > (n-1))){
printf("nПочаткова вершина зазначена неправильно! n");
exit(1);
}
Q=malloc(n*sizeof(int));
L=malloc(n*sizeof(double));
weigh=malloc(sizeof(double)*n*n);
if ((weigh == NULL)||(Q == NULL)||(L == NULL)){
printf("nHедостатньо пам'яті для завантаження масиву! n");
exit(2);
}
ret=load_matrix(n,weigh);
if (ret != 0){
printf("nПомилкавведенняданих!n");
exit(5);
}
ret=deik(n,s,weigh,Q,L);
if (ret != 0){
switch (ret){
case 1 :
printf("nГpафнеєзв'язаним!n");
exit(3);
case 2 :
printf("nHедостаточнопам'ятідляроботи!n");
exit(4);
}
}
print(n,Q,L);
free(weigh);
free(Q);
free(L);
}
int load_matrix(int n, double* weigh){
int i,j,k;
double tmp;
for (i=0; i < n; i++){
for (j=0; j < n; j++){
weigh[n*i+j]=(-1);
}
}
printf("nВведіть послідовно ваги ребер для зазначених чи вершин -1 для несуміжних.");
for (i=0; i < n; i++){
for (j=i+1; j < n; j++){
printf("nВеpшини %d і %d ",i+1,j+1);
k=scanf("%lf",&tmp);
if (k != 1){return(1);}
weigh[i*n+j]=tmp;
}
}
return(0);
}
int deik(int n,int s, double* weigh, int* Q, double* L){
int i,j,k;
int* QI; /* Масив індикаторів сталості міток покажчиків */
double tmp;
QI=calloc(n,sizeof(int));
if (QI == NULL){return(2);}
QI[s]=1;
for (i=0; i < n; i++){
Q[i]=(-1);
L[i]=DBL_MAX;
}
Q[s]=s;
L[s]=0;
weigh[n*(n-1)+s]=0;
for (k=0; k < n; k++){ /* Основний цикл по вершинах */
for (i=0; i < n; i++){ /* Цикл по рядках матриці ваг */
for (j=i+1; j < n; j++){ /* Цикл по стовпцях матриці ваг */
if ((QI[i]+QI[j] == 1)&&
(QI[i]*QI[j] == 0)&&
(weigh[i*n+j] != (-1.0))&&
(((QI[i] == 1)&&((L[i]+weigh[i*n+j]) < L[j]))||
((QI[j] == 1)&&((L[j]+weigh[i*n+j]) < L[i])))){
if (QI[i] == 1){
L[j]=L[i]+weigh[i*n+j];
Q[j]=i;
}
else{
L[i]=L[j]+weigh[i*n+j];
Q[i]=j;
}
}
}
}
for (tmp=DBL_MAX,i=0; i < n; i++){
if ((tmp > L[i])&&(QI[i] == 0)){
tmp=L[i];
j=i;
}
}
QI[j]=1;
}
free(QI);
return(0);
}
void print(int n, int* Q, double* L){
int i;
printf("nnДеpевонайкоротшихшляхів:");
for (i=0; i < n; i++){
printf("nВеpшина: %d Предок: %d Вага: %5.2lf",i+1,Q[i]+1,L[i]);
}
}
Результат виконання програми
Алгоритм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі.
Е.Дейкстра, 1959 р.
Уведіть кількість вершин.. 6
Уведіть початкову вершину.. 6
Уведіть послідовно ваги ребер для зазначених чи вершин -1 для несуміжних.
Вершини 1 і 2 2
Вершини 1 і 3 -1
Вершини 1 і 4 2
Вершини 1 і 5 -1
Вершини 1 і 6 5
Вершини 2 і 3 2
Вершини 2 і 4 -1
Вершини 2 і 5 2
Вершини 2 і 6 -1
Вершини 3 і 4 -1
Вершини 3 і 5 -1
Вершини 3 і 6 12
Вершини 4 і 5 1
Вершини 4 і 6 2
Вершини 5 і 6 5
Дерево найкоротших шляхів:
Вершина: 1 Предок: 4 Вага: 4.00
Вершина: 2 Предок: 5 Вага: 5.00
Вершина: 3 Предок: 2 Вага: 7.00
Вершина: 4 Предок: 6 Вага: 2.00
Вершина: 5 Предок: 4 Вага: 3.00
Вершина: 6 Предок: 6 Вага: 0.00
Графічне зображення початкового графа та дерева мінімальних шляхів після виконання програми
| Тестовий зв'язний зважений для алгоритму пошуку дерева шляхів з вершини 6 (Е. Дейкстра 1959р.)
|
Рішення: дерево найкоротших шляхів з вершини 6
|
4.Висновок
Ця курсова робота показує що дискретна математика, поряд з такими класичними розділами математики, як математичний аналіз, диференціальні рівняння, у навчальних планах спеціальності "Прикладна математика" і різні розділи по математичній логіці, алгебрі, комбінаториці і теорії графів тісно пов’язані із сучасним програмуванням. Причини цього неважко зрозуміти, просто розглянувши задачу, у цій курсовій роботі, яка за допомогою алгоритму Е. Дейкстра має змогу пошуку найкоротшого шляху в графі .
5
.
Література
1. Зыков А.А. Теорія кінцевих графів. - Новосибірськ: Наука, 1969.
2. Харари Ф. Теорія графів. - М.: Світ, 1973.
3. Зыков А.А. Основи теорії графів. - М.: Наука, 1987.
4. Кристофидес Н. Теорія графів. Алгоритмічний підхід. - М.: Світ, 1978.
5. Майника Э. Алгоритми оптимізації на мережах і графах. - М.: Світ, 1981.
6. Ловас Л., Пламмер М. Прикладні задачі теорії графів. Теорія паросочетаний у математику, фізику, хімії. - М.: Світ, 1998.