Тема: Генерування випадковості чисел.
План.
1. Рівномірний розподіл.
2. Розподіл Пуассона (самостійно).
3. Експоненціальний розподіл.
4. Нормальний розподіл.
5. Гама – розподіл та розподіл Ерланга.
1. Рівномірний розподіл.
Рівномірний розподіл являє собою безперервну функцію густини ймовірності, постійну всередині інтервалу від а до в і рівну нулю зовні цього інтервалу.
Щільність ймовірності математичне сподівання
Дисперсія
Функція щільності ймовірності рівномірного розподілу задає однакову ймовірність для всіх значень, що лежать між мінімальним та максимальним значеннями змінної.
2. Експоненціальний розподіл.
Вектори стосується для опису функціонування систем, в яких перевищена кількість подій відбувається за відносно короткий проміжок часу, а окремі події для своєї реалізації потребують значно довших часових відтінків, наприклад час обслуговування клієнтів у банку, надходження автомобілів на заправну станцію, термін придатності електронних складових побутових пристроїв і т.ін.
Коли ймовірність появи події в малому інтервалі часу дуже мала і не залежить від появи інших подій, то інтервали часу між послідовними подіями розподіляються експоненціальному закону
Експоненціальний розподіл
Цьому закону розподілу підлягає багато явищ, наприклад тривалість телефонних розмов, строк служби електронних деталей, час прибуття літака в аеропорт та ін.
3. Розподіл Пуасона.
Розподіл Пуасона є дискретною версією експоненціального розподілу і найчастіше пов’язаний з числом результатів за певний період часу. Якщо тривалість інтервалів часу між результатами розподілена експоненціально і в кожний момент часу може здійснитися лише один результат, то можна довести, що число результатів на фіксованому інтервалі часу розподілено по закону Пуасона.
щільність ймовірностей !
Математичне сподівання , дисперсія
Розподілом Пуасона можна описати цілий ряд реальних процесів. Якщо взяти серію із n незалежних подій по схемі Бернулі (так – ні, успіх – невдачі) з малою ймовірністю появи подій в кожному із них, то з ростом n імовірність того, що ми будемо спостерігати появу подій х раз, підлягає пуасонівському розподілу.
Розподіл Пуасона відноситься до числа дискретних (тобто таких, при яких зміна може приймати тільки цілочисельні значення, включаючи нуль).
4. Нормальний розподіл.
Нормальний розподіл або розподіл Гауса є найбільш важливим в теорії ймовірностей і математичній статистиці. Цей розподіл є простим в математичному трактуванні. Тому регресійний або варіаційний аналіз, базуючись на тому, що функція щільності має нормальний характер
.
Нормальний закон розподілу описує широкий клас явищ, наприклад цифрові результати різноманітних тестів, термін придатності речей широкого вжитку розсіювання куль довкола мішені і т.ін.
5. Гама розподіл та розподіл Ерланга.
Розподіл Ерланга
сумування незалежних однаково розподілених експоненціальних випадкових величин. Він є частковим випадком гама-розподілу, тому все що стосується функції густини, інтергустації і зауважень відносно гама-розподілу, справедливо також і для розподілу Ерланга. Цей розподіл широко використовується в теорії масового обслуговування
.
Гама - розподіл
– це узагальнення розподілу Ерланга для випадку, коли число умовних експоненціальних величин не є цілим. Гама – розподілена випадкова величина може приймати значення від нуля до безмежності. Цей розподіл виводять із експоненціального аналогічно як нормальний виводять із рівномірного.
Гама розподіл можна інтергустувати як квадратів нормально розділених випадкових змінних, тобто як а-розподіл. Отже, розподіл Ерланга, експоненціальний розподіл є частковими випадками гама-розподілу.
Гама-розподіл
є одним з найбільш
використовуваних видів безперервних розподілів яким може скористатися аналітик в імітаційному дослідженні. Якщо величини, які характеризують яке-небудь випадкове явище, не можуть приймати від’ємних значень, то це явище найбільш вдало може імітуватися з допомогою гама-розподілу. Цей розподіл описується двома параметрами , - характеризує форму, а -
масштаб розподілу.
При зміні цих параметрів щільність гама-рпозподілу може набувати найрізноманітніших форм.
щільність імовірність
математичне сподівання
Генерування випадкових чисел
Функціонування елементів системи, що підлягають впливу випадкових дій задається генераторами випадкових чисел, реалізованих програмними методами, які виробляють псевдовипрадкові послідовності.
Псевдовипадковими
послідовностями
назив. досить повно детерміновані числа, що володіють статистичними властивостями випадкових чисел, які визначаються шляхом їх перевірки спеціальними тестам, а також періодичністю, тобто повторюваністю через визначені проміжки часу. При моделюванні використовуються інтервали послідовностей псевдовипадкових чисел, в яких немає ні одного числа, яке зустрічається більше одного разу.
Методи генерування
1) метод квадратів;
2) метод добутків;
3) мультиплікативний конгруентний метод;
4) змішаний конгруентний метод.
1) Метод квадратів
. До квадрату підноситься текуче випадкове число і із результатів середніх розрядів виділяється наступне випадкове число.
Наприклад, текуче випадкове число 151
1512
= 22801.
Наступне випадкове число 2802
= 78400
8402
= 705600
5602
= ……..
Метод добутків.
Два наступних одне за одним випадкових числа перемножують і із добутку середніх розрядів виділяють наступне випадкове число.
Наприклад, 172, 169
172 Х 169 = 29068
906 – наступне випадкове і т.д.
Мультиплікативний конгруентний метод
В якості поточного значення випадкового числа виділяють залишок від ділення добутку попереднього випадкового числа і постійного множника на постійне число m:
1.
де
Наприклад,
припустимо
Тоді
648 / 7 = 0,92, а 4 – залишок від ділення
Змішаний конгруентний метод
Даний метод відрізняється від попереднього додаванням до залишку від ділення постійного числа :
2.
Наприклад,
тоді , де 4 – з попереднього прикладу.
Типи перевірки генераторів рівномірно розподілених псевдовипадкових чисел.
Розрізняють три типи перевірки: на періодичність, на випадковість, а рівномірність.
1) Перевірка на періодичність вимагає обов’язкового визначення довжини періоду і проміжну періодичність псевдовипадкових послідовностей.
2) При перевірці на випадковість рекомендується використовувати сукупність тестів перевірки:
1. чистої
2. нар.
3. комбінацій
4. серій
5. кореляції
3) При перевірці на рівномірність можна використовувати тест перевірки чистої.
Генерування псевдовипадкових рівномірно розподілених в інтервалі (0,1) чисел.
Для отримання випадкових рівномірно розподілених на інтервалі (0,1) чисел використовують:
1) таблиці випадкових чисел;
2) фізичні датчики випадкових чисел;
3) арифметичні методи псевдовипадкових чисел.
Найчастіше в даний час використовуються арифметичні методи отримання псевдовипадкових чисел за допомогою ЕОМ.
Одним з перших предметних методів отримання псевдовипадкових чисел був метод Неймана
(метод середини квадратів). Є модифікаційний метод Неймана і метод множинної подібності
.
Рівномірний розподіл
Для імітації рівномірного розподілу на інтервалі від а до в використовується обернене перетворення функції густини (щільності) (метод зворотної функції):
4.
5. - функція щільності для рівномірного розподілу.
6. , де
Якщо позначити –rj
– RN, то отримаємо з 6:
6*
. , де
Фортран-програму можна викликати оператором
CALL UNIFRM (A,B,X)
Значення А і В задаються на вході
SUBROUTINE UNIFRM (A,B,X)
1 CALL RANDUM (IX, IY, RN)
2 X = A+(B-A)*RN
3 RETURN
4 END
Методи генерування псевдовипадкових чисел, розподілених по заданому закону.
Найбільш поширеним є методи:
1) зворотної функції;
2) табличний;
3) метод, що базується на функціональних особливостях генерованих розподілів.
1) Метод полягає в використанні наступної теореми:
Якщо випадкова величина має густину розподілу f
(
z
)
, розподіл випадкової величини
3. є рівномірним в інтервалі 0…1 (а – нижня границя діапазону зміни випадкової величини z).
Для того щоб отримати випадкове число zj
з щільністю (густиною) f(
z
), необхідно знайти рішення рівняння
4.
Наприклад, для експоненційного закону
4*
. - функція щільності для експоненційного закону.
Використовуємо формулу (див. ст. 53, рівн. 3
від лівої до правої частини візьмемо ln.
Звідси -
5.
Переваги
методу зворотньої функції: точність методу, не потрібне складання і збереження в пам’яті таблиць.
Недоліки
вирахувати інтеграл від функції густини аналітично; використання числових методів розрахунку інтегралів приводить до помилок і великих затрат машинного часу.
2) Табличний метод
. Метод застосовується в транспеторі мови GPSS.
Переваги
табличного методу: дозволяє генерувати випадкові послідовності з любим заданим законом. Використовується метод лінійної інтерголації. Будь-яку задану точність можна отримати при збільшенні кількості інтервалів; необхідне тільки одне випадкове рівномірно розподілене число і виконання нескладних операцій, що займають мало часу.
3) Метод використовується, як правило, в тих випадках, коли аналітично не вдається вирахувати інтеграл від функції густини.