Безкінечно малі функції

Безкінченно малі функції

Визначення 1. Функція f(
x)
називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0
(або при х
-
х0
), якщо f(
x)=0
.Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при

Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю , то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f
(
x
)
називається нескінченно малою в точці х=х0
, якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовільняющих нерівності , виконується нерівність і на язику послідовності: функція називається безкінечно малою в точці х=х0
, якщо для любої зводящоїсі до х0
послідовність являється нескінченно малою.

Теорема. Для виконання рівняння f(
x)=
A
необхідно і достатньо, щоб функція була х
-
х0
нескінченно малою при х
-
х0

Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності.

Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при х
-
х0
,
а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при х
-
х0
.

Нескінченно великі функції

Визначення. Функція f(
x)
називається безкінченно великою функцією в точці х=
х0
(або при х
-
х0
), якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність .

В цьому випадку пишуть f(
x)=
і говорять, що функція стремиться д

о нескінченності при х
-
х0
або, що вона має нескінченну межу в точці х
=
х0
.

Якщо виконується нерівність , то пишуть f(
x)=
і говорять, що функція має в точці х0
нескінченну межу, рівну .

Так наприклад, пишуть f(
x)=
, якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовольняючих нерівностями , виконується нерівність .

“На язику послідовності” це визначення записується так: , якщо для любої зводящої ??? до х0
послідовності значення аргументу х
, елементи х
n
який більше x0
, відповідають послідовності значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака.

Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при . Так, наприклад: функція f(x)
називається нескінченно великою при , якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність . При цьому пишуть f(x)=
. Якщо виконується нерівність , то пишуть f(x)=
(
).

На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же зв'язок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот.

Насправді, нехай f(x)=0
і f(x)0
при .

Докажем, що
.

Задамо довільне . Так як f(х)
– нескінченно мала функція в точці х0
, то для числа 1/існує таке, що для всіх , задовільняющих нерівностям , виконується нерівність . Но тоді для тих же х
виконується нерівність , т.с. - нескінченно велика функція в точці х=х0
, що і потрібно було доказати.