Пошукова робота на тему:
Інтерполяція.
П
лан
Інтерполяція
Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційна формула Ньютона
13.16. Інтерполювання функцій
Нехай відомі числові значення
деякої величини
, які відповідають числовим значенням
величини
/вузли інтерполювання /. Вважаючи
функцією від
, складемо таблицю із цих чисел:
|
|
|
|
|
|
Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною
; але їх складають і для аналітично заданих функцій
: таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.
Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень
, відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини
. Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції
, яка набувала б табличних значень
за табличних значень
. Звичайно, за
беруть многочлен степеня
, що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).
Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.
13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:
Для знаходження невизначених коефіцієнтів
будемо покладати в цій рівності по черзі
вимагаючи при цьому, щоб
Тоді одержуємо
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:
Поклавши в цю формулу
, що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення
. За табличних значень
маємо відповідні табличні значення
.
13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона
У випадку, коли вузли інтерполювання
утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)
(
-
крок інтерполювання),
користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції
.
Скінченою різницею
першого порядку величини
називається різниця між двома послідовним
Скінченою різницею другого порядку величини
називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:
Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.
Із означень одержуємо:
Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу
є біноміальними, а весь вираз
нагадує розгорнутий
-ий степінь суми. Тому
У цій формулі
є номер табличного значення
, або інакше - число кроків
, які відділяють табличне значення
від
, тобто
Якщо будемо обчислювати нетабличне значення
, що відповідає нетабличному значенню
, і збережемо вигляд правої частини рівності для
, то величина
буде такою самою функцією від
, якою функцією від
раніше було
( за всіх
табличних
переходить в
).
Замінивши
на
, одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:
У розгорнутому вигляді
є многочлен степеня
відносно
. За всіх табличних значень
аргументу
дорівнює відповідному табличному значенню
функції
, тобто
.
Зауваження.
Якщо функція
лінійна або якщо розміщення на координатній площині
точок
наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень
не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай
і потрібно знайти
, знаючи відповідні табличні значення
та
. Із рівняння прямої
одержимо
Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання
. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.
Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.
Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:
Оскільки
тощо,
то
тощо.
Для знаходження похідних функцій
за табличних значень аргументу
покладено
і тому
тощо.
Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу
оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що