ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 PDF

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 1 / 21)

Пояснения к демонстрационному варианту

контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года.

Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32.

Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Поставщик

Стоимость пеноблоков

(руб. за 1 м3
)

Стоимость доставки

(руб.)

Дополнительные условия доставки

А

2 600

10 000

Нет

Б

2 800

8 000

При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная

В

2 700

8 000

При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 5 / 21)

Диагональ AC
основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равна 6. Высота пирамиды SO
равна 4. Найдите длину бокового ребра SB
.

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h t
( ) = −5t
2
+18t
, где h
– высота в метрах, t
– время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

Весной катер идёт против течения реки в 1 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите

скорость течения весной (в км/ч).

Найдите наибольшее значение функции

⎡ π⎤

y
= 2cosx
+ 3
на отрезке ⎢⎣
0; 2
⎥⎦
.

B5

B7

B8

B4

B6

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

(2012 - 7 / 21)

C6

C5

C1

С4

С3

С2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 9 / 21)

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом:

решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

Задание

Ответ

В1

5

В2

5

В3

18

В4

192 000

В5

12

В6

64

В7

–0,8

В8

3

В9

5

В10

0,92

В11

9

В12

2,4

В13

5

В14

1

Задание

Ответ

С1

а)

б)

k
, n
∈], k
∈].

С2

30°

С3

(2; log 11 2
]

С4

1 или 7

С5

⎛ 1 ⎞ ⎜ ; 4 + 6⎟

⎝ 2 ⎠

С6

а) 44; б) отрицательных; в) 17

С1

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 13 / 21)

Возможны другие формы записи ответа.
Например:

А) ;

Б) рад.

В) arctg и т.п.

Возможны другие решения.
Например, с использованием векторов или метода координат.

⎧ 4x
≤ 9 2⋅ x
+ 22,

⎪

Решите систему неравенств ⎨
2
x
+1

⎪log3
(x
− x
− 2) ≤ +1 log3
.

⎩ x
− 2

Решение.

2

1. Неравенство 4 ≤ 9 2⋅ + 22 запишем в виде (2 ) −9 2⋅ − 22 ≤ 0. x x x x

Относительно t
= 2x
неравенство имеет вид: t
2
−9t
− 22 ≤ 0, откуда получаем: (t
+ 2)(t
−11) ≤ 0, 2− ≤ ≤t
11.

Значит, 2− ≤ 2x
≤11, x
≤ log 112
.

⎧(x
+1)(x
− 2) > 0,

⎪

2. Второе неравенство системы определено при ⎨ x
+1

⎪ > 0,

⎩ x
− 2

то есть при x
< −1 и x
> 2.

При допустимых значениях переменной получаем:

,

log3
(x
− 2)2
≤1, (x
− 2)2
≤ 3, 2 − 3 ≤ x
≤ 2 + 3 .

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 < x
≤ 2 + 3.

С2

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в п. а)
и в п. б)

2

Обоснованно получен верный ответ в п. а)
, но обоснование отбора корней в п. б)
не приведено или задача в п. а)
обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б)
приведен обоснованный отбор корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков

2

Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный
балл

3

С4

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 17 / 21)

Возможны другие формы записи ответа.
Например:

А) 1, 7;

Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Найдите все значения a
, при каждом из которых наименьшее значение функции f x
( ) = 2ax
+| x
2
−8x
+ 7| больше 1.

Решение.

1. Функция f
имеет вид:

a) при x
2
− +8x
7 ≥0: f x
( ) = +x
2
2(a
− 4)x
+ 7, а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x
4= − a
;

б) при x
2
−8x
+ 7 <0: f x
( ) = − x
2
+ (2a
+8)x
− 7, а её график есть часть

параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции f
( )x
показаны на рисунках:

Рис. 1 Рис. 2

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2012 - 19 / 21)

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8− .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел k
положительных, l
отрицательных и m
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4 8 0k
− l
+ ⋅m
= −3(k
+ +l m
).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k
+ +l m
— количество целых чисел — делится на 4. По условию 40< + + <k l m
48, поэтому k
+ + =l m
44 .

Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство 4 8k
− l
= −3(k
+ +l m
) к виду 5 7l
= +k
3m
. Так как m
≥0, получаем, что 5 7l
≥ k
, откуда l
> k
. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

воценка
) Подставим k
+ + =l m
44 в правую часть равенства 4 8k
− l
= −3(k
+ +l m
): 4 8k
− =−l
132, откуда k
= −2 33l
. Так как k
+ l
≤44, получаем: 3l
−33≤ 44, 3l
≤ 77, l
≤ 25, k
= 2l
−33≤17; то есть

положительных чисел не более 17.

впример
) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два

Содержание критерия

Баллы

Верно выполнены: а), б), впример
), воценка
)

4

Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
)

3

Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
)

2

Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример
), воценка
)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4