ЗНО математика 2007

МАТЕМАТИКА

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ

Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:

• відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;

• рівень навчальних досягнень учнів;

• ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.

При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.

Частина 1

ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ

1.
Розташуйте у порядку спадання числа 5 ; 2log
2
5
; .

А	Б	В		Г	Д
2log2 5 ; ; 5	; 5 ; 2log2 5	;2log2 5 ;	5	5 ; ; 2log2 5	2log2 5 ; 5 ;

Правильна відповідь: А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.

2.
Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.

А	Б	В	Г	Д
1150	1050	950	850	750

Правильна відповідь: Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.

3.
З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь: В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.

4.
Розв’яжіть нерівність х
+
1
>
1
− 2. х
−3 х
−3

А	Б	В	Г	Д
(−2;3)	(−2;+∞)	(−∞;−2)U(−2;+∞)	(−∞;3)U(3;+∞)	(−2;3)U(3;+∞)

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.

5.
Знайдіть область визначення функції у
= х
+9 .

А	Б	В	Г	Д
[3;+∞)	[9;+∞)	[−3;+∞)	[−9;+∞)	[−9;9]

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.

6.
Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

А	Б	В	Г	Д
41	45	54	68	81

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.

8.
Розв’яжіть рівняння tg х
= 3 2

А	Б	В	Г	Д
	Z	Z	Z	інша відповідь

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

9.
За видом графіка функції у
= кх
+ b
визначте знаки коефіцієнтів к
і b
. Оберіть правильне твердження.

А	Б	В	Г	Д
⎧k > 0, ⎨ ⎩b < 0	⎧k < 0, ⎨ ⎩b > 0	⎧k < 0, ⎨ ⎩b < 0	⎧k > 0, ⎨ ⎩b > 0	⎧k = 0, ⎨ ⎩b > 0

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.

10.
Укажіть парну функцію.

А	Б	В	Г	Д
y = x	y = 2x	y =tgx	y = log2 x	y = x 2

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.

11.
Обчисліть log5

А	Б	В	Г	Д
−	−	− 2
Правильна відповідь : А. Компоненти програмових вимог, що перевіряються за 12. Розв’яжіть нерівність log0,1 10 < log0,1 x .			вданням: Властив	ості логарифма.
А	Б	В	Г	Д
(10;+∞)	(0; 10)	(0,1; 10)	(−10; 0)	(−∞;10)

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.

13.
Розв’яжіть рівняння 3
8х
= 2 ⋅3
2

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.

14.
Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння х
3
− 4х
= 0.

А	Б	В	Г	Д
жодного	один	два	три	більше трьох

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування рівнянь з модулем.

15.
Знайдіть первісну функції f
(х
) = 2х
+ 2, графік якої проходить через точку з координатами (1;4).

А	Б	В	Г	Д
F (х ) = х 2 + 2х	F (х ) = х 2 + 2х +1	F (х ) = х 2 + 2х + 2	F (х ) = х 2 + 2х −4	F (х ) = х 2 + 2х − 23

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.

16.
На рисунку зображений графік функції у
= f
(х
) та дотичні до нього в точках х
1
та х
2
. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть f
′(х
1
) + f
′(х
2
) .

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Геометричний зміст похідної.

17.
Градусна міра зовнішнього кута А
рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС)
становить 125°. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В
.

А	Б	В	Г	Д
30о	40о	50о	60о	70о

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.

18.
Точка М
– середина сторони квадрата АВСD
. Площа зафарбованої частини дорівнює 7 см
2
. Знайдіть площу всього квадрата.

А	Б	В	Г	Д
14 см 2	21 см 2	28 см 2	35 см 2	42 см 2

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивості квадрата. Площі рівних фігур.

19.
Знайдіть координати точки М
, відносно якої симетричні точки Е
(−3; 8; 7) і

F
(−9; 6; 1).

А	Б	В	Г	Д
(−6;7;4)	(−12;14;8)	(0;0;0)	(3;1;3)	інша відповідь

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.

20.
Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см
.

А	Б	В	Г	Д
n:center;">πa 3 см 3	πa 3 см 3	πa 3 см 3	πa 3 см 3	πa 3 см 3

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Знаходження об’єму тіла обертання.

Частина 2

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ

21.
Обчисліть (6
27 + 4
64)(6
27 − 4
64)

Правильна відповідь : −5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Дії над ірраціональними числами.

22.
Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Правильна відповідь : 144.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Сума членів арифметичної прогресії.

23.
Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності

(х
−3)(х
+10)(х
2
+8х
−9)

2 < 0 х
+8х
−9

Правильна відповідь : −8 .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.

24.
На перегоні, довжина якого дорівнює 240 км
, поїзд рухався зі швидкістю на 10 км
/год
менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 хв
. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

Правильна відповідь : 60 км
/год
.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.

25.
Обчисліть 2sin15°cos15°tg
30°ctg
30°.

Правильна відповідь : 0,5

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.

26.
Розв’яжіть рівняння (х
2
−9) −15+8х
− х
2
= 0. У відповідь запишіть суму коренів.

Правильна відповідь : 11 (або 8).

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.

Примітка.

Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів порізному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.

Розв’язання.

Знайдемо область визначення: −15+8х
− х
2
≥ 0, х
2
−8х
+15 ≤ 0, х
∈
[3; 5
]

Рівняння (х
2
−9) −15+8х
− х
2
= 0 рівносильне сукупності рівнянь:

⎡х 2 −9 = 0, ⎢

⎡х 1 = −3, ⎢ х = 3, звідси: ⎢ 2

⎢⎣
−15+8х
− х
2
= 0; ⎢⎢х
3
= 3,

⎣х
4
= 5.

Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь х
=−3 не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.

⎧22у
−х
= 32,

⎪

27.
Розв’яжіть систему рівнянь ⎨log1 (у
− х
) = −2.

⎪⎩ 2

Запишіть у відповідь добуток x
0
⋅ y
0
, якщо пара (x
0
, y
0
) є розв’язком вказаної системи рівнянь.

Правильна відповідь : −3.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.

28.
Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Правильна відповідь : 32.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.

29.
Обчисліть log3
4⋅log4
5⋅log5
7⋅log 817

Правильна відповідь : 4.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.

30.
Знайдіть найбільше ціле значення параметра а
, при якому система рівнянь

⎧у
−х
=а
,

⎨ 2 2
має два розв’язки.

⎩х
+у
=1

Правильна відповідь : 1.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.

31.
Знайдіть найбільше значення функції у
= х
3
−3х
2
+ 2 на проміжку [−1; 1].

Правильна відповідь : 2.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.

32.
Знайдіть найменше ціле значення параметра а
, при якому рівняння log8
(х
+ 2) = log8
(2х
−а
) має корені.

Правильна відповідь : −3.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.

33.
Сторона рівностороннього трикутника АВС
дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний

r r

добуток AB
⋅ AC
.

Правильна відповідь : 12,5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.

34.
Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3
. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?

Правильна відповідь : 405.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.

35.
Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 3 см
і нахилена під кутом 60°до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Правильна відповідь : 12 см
3
.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.

Частина 3

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

36.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S
– вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC
, проведеною з вершини D
, та середньою лінією трикутника ASC
, що паралельна основі піраміди.

Правильна відповідь : α= arctg
11.

Розв’язання
(авторський варіант)

Нехай SABCD
– задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD,
і SO
її висота. Позначимо сторону основи АВ
через а
, тоді бічне ребро SA
= 2a
.

У трикутнику SDC
з вершини D
проведемо медіану DN, N
– середина ребра SC
. У трикутнику ASC
проведемо середню лінію, паралельну AC
. Вона перетинає ребра SA
та SC
у точках М
та N
відповідно, AM = MS
та SN = NC
(за означенням середньої лінії). Оскільки АС
лежить у площині ABC
і MN
|| AC
, то MN
|| (ABC
). Прямі MN
та ND
перетинаються в точці N
, тому кут MND
є шуканим кутом між медіаною DN
трикутника SDC
і середньою лінією MN
трикутника ASC
. Позначимо ∠MND
=α.

a
2

Діагональ АС
квадрата АВСD
дорівнює a
2 , тому середня лінія MN
= .

2

Висота SO
піраміди перетинає MN
в точці L
. Оскільки трикутники ASC
і SMN
є

a
2

рівнобедреними, то АО = ОС
і ML = LN
= .

4

З прямокутного трикутника SOC
SO
=

1

За теоремою Фалеса SL = LO
= SO
= a

2

З прямокутного трикутника LOD
LD
=.

Трикутник DNM
рівнобедрений, оскільки DM = DN
як медіани рівних трикутників SAD
та SCD
. Медіана DL
є висотою. Отже, трикутник DLN
є прямокутним.

З трикутника DLN
маємо:

LD

tg
α= = 11.

LN

Відповідь.
α= arctg
11.

Схема оцінювання

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал
.

2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (DM=DN)
учень одержує ще 1 бал
.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN
, необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал
.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.

• Якщо учень не з’єднує точки М
і Д
на рисунку, а розглядає кут α як кут трикутника DLN,
то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN –
прямокутний.
Тоді має місце така схема оцінювання
:

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал
.

2. За обґрунтування того, що LD
⊥ MN
учень одержує ще 1 бал
.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN
, необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал
.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.

• Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання
:

1. За правильне обґрунтування висоти SO
учень одержує 1 бал
.

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал
.

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал
.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.

37. Побудуйте графік функції
y
=.

2

Розв’язання

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність −х
≥ 0. Отже, D
(y
) = (−∞; 0].

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння 4− − x
= 0 , звідки x
=−16.

Якщо x
∈(−∞;−16], то y
== −x
− 2.

Якщо х
∈ (−16; 0
], то y
= = 2.

2

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

1. За правильно знайдене D
(y
) учень одержує 1 бал
.

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку x
∈(−∞;−16], то він одержує 1 бал
.

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку (−16; 0
], то він одержує ще 1 бал
.

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал
.

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали
.

38. Розв’яжіть нерівність
(x
2
− 2 a
⋅ x
+1)(2x
+lga
) < 0 .

1

Правильна відповідь: при a
∈(0;1) x
∈(−∞;log2
lg ) ; a

при а
=1 х
∈∅ ;

при a
∈(1;+∞) x
∈( a
− a
−1; a
+ a
−1).

Розв’язання

Визначимо область допустимих значень параметра а
: a
> 0.

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

⎡
⎧⎪x
2
−2x a
+1> 0,

⎢⎨

⎢⎪⎩
2x
+lga
< 0;

⎢

⎢⎧⎪x
2
−2x a
+1< 0,

⎢⎨

⎢⎣⎪⎩
2x
+lga
> 0.

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність x
2
− 2 a
⋅x
+1> 0 .

D
2

= ( a
) −1=a
−1.

4

1. Якщо a
<1 , то розв’язком першої нерівності даної системи буде x
∈R
. Тоді

розв’язком нерівності 2x
< −lga
буде x
∈(−∞;log2
lg 1
) при 0 < a
<1. Тобто,

a

1

розв’язок першої системи матиме вигляд x
∈(−∞;log2
lg ) при 0<a
<1. a

2. Якщо а
≥1, то розв’язком нерівності x
2
− 2 a
⋅x
+1> 0 буде x
∈(−∞; a
− a
−1)∪( a
+ a
−1;+∞), а нерівність 2
x
< −lga
не має розв’язків.

Отже, перша система не має розв’язків. Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність x
2
− 2 a
⋅x
+1< 0 .

D
2

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, = ( a
) −1=a
−1.

4

1. Якщо a
<1, то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо а
>1, то розв’язком нерівності x
2
− 2 a
⋅x
+1< 0 буде x
∈( a
− a
−1; a
+ a
−1). Тоді розв’язком нерівності 2
x
> −lga
буде x
∈R
.

Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд x
∈( a
− a
−1; a
+ a
−1).

3. Якщо a
=1, то одержимо нерівність x
2
−2x
+1< 0, звідси х
∈∅ .

1

Отже, загальна відповідь: при 0 < a
<1 x
∈(−∞;log2
lg ) ; a

при a
>1 x
∈( a
− a
−1; a
+ a
−1); при а
=1 х
∈∅ .

Схема оцінювання

1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а
і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал
.

2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали
. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал
.

3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали
. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал
.

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.

• Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів
,
то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал
.

2. За правильно знайдені нулі функції у
= (х
2
− 2 ах
+1)(2х
+ lgа ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали
.

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал
.

3. За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а
учень одержує 2 бали
.

Якщо учень розглянув один з випадків a
>1 або 0 < a
<1, то він одержує лише 1 бал
.

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.

• Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки:

0 < a
<1, а=
1,
a
>1 ,
то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. Якщо учень дослідив випадок а
=1 і одержав відповідь, то він одержує 1 бал.

2. Якщо учень дослідив випадок 0 < a
<1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.

3. Якщо учень дослідив випадок a
>1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.

4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.