Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості

(7.50)

Рис.7.10 Рис.7.11

При вивчені поведінки функції
в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання
в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції
.

Означення
. Градієнтом
функції
в точці в даній точці
називається вектор, розміщений в площині аргументів
і
, який має своїм початком цю точку
і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції
в цій точці
:

(7.51)

Тут
- орти координатних осей
і
.

Теорема
. Градієнт диференційованої функції
в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.

Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної
як скалярний добуток двох векторів:

.

Перший із співмножників є
.

Звідси
буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів
і
збігаються; це найбільше значення
дорівнює модулю
, тобто числу

.

Теорема доведена.

Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання
.

Приклад
. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції
в точці
і обчислити значення похідної в цьому напрямку.

Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці
:

.

Отже, шуканий напрямок складає кут
з віссю
.

Похідна
.

Нехай точка
лежить на лінії рівня
в точці з рівнянням
. Кутовий коефіцієнт дотичної до
в точці
(рис. 7.11) дорівнює
(7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта
в точці
дорівнює
.

Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції
в точці
напрямлений за нормаллю до лінії рівня
, яка проходить через точку
.

Зауваження
. Градієнт функції
в точці запишеться так:

, (7.52)

де
- орти координатних осей.