Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

РЕФЕРАТ

Пояснительная записка: 44 с., 14 рис, 2 таблицы, 3 источника, 4 прил.

Данный продукт представляет собой программу, позволяющую решать СНАУ:

F1(X1
, X2
, X3
)=0,5arctg(X1
+X2
)+0,2ln(1+X2
1
+ X2
2
+X2
3
)-0,05(X1
X2
-X1
X3
-X2
X3
)+85X1
-20X2
+35X3
-99;

F2(X1
, X2
, X3
)=5arctg(X1
+X2
+X3
)-25,5X1
+19,5X2
-15,5X3
+15;

F3(X1
, X2
, X3
)=-0,3cos(X1
-2X2
+X3
)+0,5exp(-0,25(X2
1
+X2
2
+X2
3
-3))-44,75X1
+20,25X2
+5,25X3
+18.

Модифицированным методом Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Кроме вычисления корня уравнения, существует возможность построения графика зависимости приближений двух координат решения. При построении графика задаются промежутки и константы. Программа может использоваться как наглядное пособие для студентов высших учебных заведений.

В программе реализуются:

1) работа с BGI графикой;

2) работа с файлами.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Постановка задачи

1.1. Цель создания программного продукта

1.2. Постановка задачи

2. Математическая модель

3. Описание и обоснование выбора метода решения

4. Обоснование выбора языка программирования

5. Описание программной реализации

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1
Цель создания программного продукта

Главной целью работы является разработка программы способной решать СНАУ трёх переменных модифицированным методом Ньютона, что должно являться пособием для студентов высших учебных заведений в снижении ненужной нагрузки, связанной с многочисленными массивами вычислений.

1.2 Постановка задачи

В данном программном продукте необходимо реализовать решение СНАУ:

0,5arctg(X1
+X2
)+0,2ln(1+X2
1
+ X2
2
+X2
3
)-0,05(X1
X2
-X1
X3
-X2
X3
)+85X1
-

-20X2
+35X3
-99;

5arctg(X1
+X2
+X3
)-25,5X1
+19,5X2
-15,5X3
+15;

-0,3cos(X1
-2X2
+X3
)+0,5exp(-0,25(X2
1
+X2
2
+X2
3
-3))-44,75X1
+20,25X2
+

+5,25X3
+18.

Начальным приближением (X0
) должны служить X1,0
=0, X2,0
=0, X3,0
=0. Необходимо ввести точность (ξ) вычисления корня системы уравнений

, ограниченную размером (не менее 0,00001). После вычислений с заданной погрешностью возникает множество приближений к корню, последнее из которых будет считаться корнем. После нахождения корня СНАУ и приближений к нему, необходимо построить график зависимости двух любых компонент решения (например, X1
и X3
). Для этого третья компонента решения (X3
) принимает значение константы. Необходимо указать какая функция будет участвовать в построении графика (например, F1
), а также определить промежутки изменения обеих компонент решения (например, [X1
min
; X1
max
] и [X3
min
; X3
max
]).

2 МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Общий вид решения системы нелинейных арифметических уравнений имеет вид:

F1
(X1
,…,Xn
)=0

…

Fn(X1
,…,Xn
)=0

, где Fi
– функция n переменных.
Решением СНАУ является вектор X=(X1
,…,Xn
), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство.
При n=3 – точка пересечения трёх поверхностей.
Модифицированный метод Ньютона – один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X0
. Суть метода заключается в построении последовательности точек X0
, …, Xn
, сходящихся к решению.
Рекуррентная формула имеет вид:
Xk
+1
=Xk
+W(X0
)-1
F(Xk
), где W(X0
)-1
– обратная матрица частных производных уравнений системы уравнений (якобиан I-1
) от начального приближения X0
, а F(Xk
) – вектор значений функций СНАУ вектора приближения к корню X, высчитанном, на предыдущем шаге.
Условием окончания выполнения приближений является шаг, на котором k-норма (в данном случае), т.е √F2
2
(Xn
+1
)+ F2
2
(Xn
+1
)+ F2
2
(Xn
+1
), меньше определённой погрешности (ξ):
√F2
2
(Xn
+1
)+ F2
2
(Xn
+1
)+ F2
2
(Xn
+1
) < ξ.
3 ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ

Для решения СНАУ был выбран один из численных методов, который называется модифицированным методом Ньютона.

По сравнению с методом Ньютона модифицированный метод Ньютона сходится дольше, но имеет более простой алгоритм реализации, следовательно, проще реализуем программно на языке программирования.

4 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Реализация поставленной задачи совершается на языке программирования Borland C++ version 3.1.

Система программирования Borland C++, разработанная американской корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе языка программирования C, а также поддержка графического и текстового режимов, что делает Borland C удачным выбором для реализации практически любого программного продукта.