Министерство Образования Украины
Кафедра электротехники
Курсовая работа
по курсу “Теория электрических и электронных цепей”
на тему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами”
Вариант № 12
Содержание курсовой работы
1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R4
=R3
), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Еm
.
2.Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса tnn
.
Это время определить по следующим формулам:
tnn
= или tnn
=
где λmin
– наименьший из двух вещественных корней;
δ - вещественна часть комплексного корня.
3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.
4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону
e(t)=Em
sin(ωt +φ).
Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.
Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.
5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построитьсовместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U0,
U1,
U2,
U3.
Принимая значение времени: t1
=τ , t2
=1,5τ , t3
=2τ , t4
= 2,5τ .
Здесь τ – постоянная времени рассматриваемой цепи.
Таблица 1:
| Номер варианта | Номер схемы | Параметры источника |
Параметры цепи |
Параметры источника для интеграла Дюамеля |
Номер схемы по рисунку 2 | Исследуемая величина ƒ(t) |
||||||||||
Напряжение U, В |
Частота ƒ, Гц |
Нач. фаза φ,град. |
R1 Ом |
R2 Ом |
R3 Ом |
L мГн |
C мкФ |
№ графика | Uо В |
U1 В |
U2 В |
U3 В |
||||
| 12 | 12 | 70 | 30 | 75 | 26 | 10 | 10 | 100 | 25 | 12 | 20 | 5 | 10 | 0 | 4 | UR2 |
|
Рисунок 1:
|
Рисунок 2:
|
|
|
|
|
|
График 1:
|
1 этап курсовой работы
Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом
1 этап
Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
i2(-0)
=i1(-0)
=== 1.52 (A)
Uc(-0)
= i2
.
R2
=Uc(+0)
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1
-i2
-ic
=0 (1)
i1
.
R1
+ i2
.
R2
+L=U (2)
i1
.
R1
+ Uc
=U (3)
Из (2) уравнения выразим i1
i1
=(2.1)
i1
из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic
ic
=(1.1)
i1
подставим в (3) и выразим Uc
U=(3)
Uc
=U-U- i2
.
R2
-(3)
Uc
=i2
.
R2
+(3.1)
Uc
=(3.2)
Подставим в место Uc
и ic
вуревнение (3.2), получим:
(3.3)
Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:
(3.4)
В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:
2 этап
Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i2
, для этого мы представим i2
как сумму двух составляющих i2св
– свободная составляющая и i2вын
– вынужденная составляющая
i2
=i2св
+i2вын
i2вын
найдём по схеме
i2вын
=
i2св
найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через l, а через l2
получим:
Ll2
+R2
l+l+=0 (3.5)
Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни l1
и l2
0.1l2
+10l+l+
15384,6+153,85l+40000+10l+0,1l2
=0
Д=b2
-4ac=(163,85)2
-4.
0,1.
55384,6=26846,82-22153,84=4692,98
l1,2
=; ; l1
l2
– вещественные
l1
=
l2
=
i2св
=А1
е-477t
+А2
е-1162t
(3.6)
i2
=1.94+ А1
е-477t
+А2
е-1162t
(3.7)
3 этап
Найдём А1
и А2
исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.
Найдём ток i2
для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.
i2(+0)
=i2вын(+0)
+ А1
+А2
-477 А1
-1162 А2
Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0
(3.8)
Из уравнения (3) выразим i1
для момента времени t+0 при Uc
=i2
R2
i1
= (3.9)
Найдём подставив значение i1
из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)
(4.0)
Подставим значение , i2(+0)
, i2вын
в систему и найдём коэффициенты А1
и А2
1,52=1,94+ А1
+ А2
(4.1)
2=-477 А1
-1162 А2
(4.2)
Из уравнения (4.1) выразим A1
и подставим в (4.2)
А1
=-0,42-А2
2=-477(-0,42-А2
)-1162А2
(4.3)
Из уравнения (4.3) найдём А2
2=200,34+477А2
-1162А2
2=200,34-685А2
А2
=
А1
=-0,42-0,29=-0,71
Подставим найденные коэффициенты А1
и А2
в уравнение (3.7)
i2
=1,94-0,71е-477t
+0,29е-1162t
(А)
4 этап
Определяем остальные переменные цепи UL
, Uc
, ic
, i1
UL
= (В)
Uc
= +i2
R2
=
= (В)
ic
=(А)
i1
=ic
+i2
=(0,044е-477t
+0,014е-1162t
)+( 1,94-0,71е-477t
+0,29е-1162t
) =
=1,94-0,666е-477t
+0,304е-1162t
(А)
Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса tnn
.
Это время определим по формуле:
tnn
=
Найдём tпп
время переходного процесса
tпп
= (с)
Таблица переменных
| Время переходного процесса tnn (c) | Значение тока i1 (A) |
Значение тока i2 (A) |
Значение тока ic (A) |
Значение напряжения UL (B) |
Значение напряжения UC (B) |
| 0.000 | 1.578 | 1.520 | 0.058 | 0.20 | 15.22 |
| 0.001 | 1.622 | 1.590 | 0.032 | 10.49 | 16.95 |
| 0.002 | 1.713 | 1.695 | 0.018 | 9.75 | 17.92 |
| 0.003 | 1.790 | 1.779 | 0.011 | 7.07 | 18.50 |
| 0.004 | 1.844 | 1.837 | 0.006 | 4.70 | 18.84 |
| 0.005 | 1.879 | 1.875 | 0.004 | 3.02 | 19.06 |
| 0.006 | 1.902 | 1.899 | 0.0025 | 1.90 | 19.19 |
| 0.0063 | 1.907 | 1.905 | 0.0022 | 1.65 | 19.21 |
Рисунок 3 - График токов
где
i1
i2
ic
Рисунок 4 – График напряжений
где
UL
UC
2 этап курсовой работы
2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:
|
e(t)=Em
sin(wt+j)
R1
где Em
=100 (B)
w=2pf =2 3,14 50=314 (Гц)
j=300
R1
=R2
=10 (Ом) L=100 (мГн)
R3
=9 (Ом) С=100 (мкФ)
w=314 (Гц)
XL
=wL=314.
0,1=31,4 (Ом)
XC
= (Ом)
Найдём начальные условие:
U(t)=Um
sin(wt+j)=100sin(314+30);
Um
=100ej30
=86,603+j50 (В)
UC(-0)
=0 (B)
Найдём полное сопротивление цепи
Zп
=R1
+R3
+jXL
=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)
Зная сопротивление и напряжение найдём I3m
I3m
=I1m
=(А)
Найдём мгновенное значение тока
i3
(t)=I3m
sin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)
Для времени t=0 ток будет равен
i3(-0)
=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)
Таким образом
UC(-0)
=UC(+0)
=0 (B)
i3(-0)
= i3(+0)
=-1.314 (A)
1 этап
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1
-i2
-i3
=0 (1/
)
i1
.
R1
+ i3
.
R3
+L=U(t) (2/
)
i1
.
R1
+i2
.
R2
+Uc
=U(t) (3/
)
Из (2/
) уравнения выразим i1
i1
=(2/
.1)
i1
из уравнения (2/
.1) подставим в (1/
) и выразим i2
i2
=(1/
.1)
U(t)=U(t)-i3
.
R3
-L+R2
- (3.1)
Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
(3.2)
2 этап
Вид решения для i3св
при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i3св
не зависит от входного напряжения.
Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:
i3св
=А1
е-406t
+А2
е-234t
Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i3вын
i3вын
находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);
Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I1
, а для этого найдём Zп вын
сопротивление цепи:
Zп
вын
= (Ом)
I1m
= (A)
Найдём Uab вын
Uab m
= I1m
(В)
I3 m
=(A)
Найдём i3 вын
I3
вын
= I3 m
sin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60) (A)
Таким образом
i3
=2.607sin(314t-43.60)+А1
е-406t
+А2
е-234t
3/
этап
Найдём А1
и А2
исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1/
этапе.
i3
=2.607sin(314t-43.60)+А1
е-406t
+А2
е-234t
i3(+0)
=i3(-0)
=-1.314 (A)
i3(+0)
=2.607sin(-43.60)+A1
+A2
=-1.798+A1
+A2
R1
i1
=U(t)-R2
i2
-UC
=
=
Подставим значение , i3(+0)
, и найдём коэффициенты А1
и А2
для времени t+0
-1.314=-1.798+A1
+A2
433.96=592/806-406A1
-234A2
A1
=-1.314+1.798-A2
=0.484- A2
433.96=592.806-406(-0.484- A2
)-234 A2
433.96-592.806+406 .
0.484= A2
(406-234)
37.658=172A2
A2
=0.219
A1
=0.265
Ток i3
будет равняться
I3
=2.607sin(314t-43.600
)+0.265е-406t
+0.219е-234t
(A)
Таблица переменных
| Время t, c | 0.000 | 0.001 | 0.002 | 0.003 | 0.004 | 0.005 | 0.006 | 0.0063 |
| Ток i2, A | 1.115 | 1.327 | 1.528 | 1.671 | 1.7428 | 1.7430 | 1.6745 | 1.6413 |
3 этап курсовой работы
Найдём выражение для тока катушки операторным методом:
R1
R2
Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
I3(-0)
=== 5.263 (A)
Uc(-0)
=0 (В)
Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.
В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.
|
Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.
I1(p)
-I2(p)
-IC(p)
=0 (1.3)
(2.3)
(3.3)
Из уравнения (2.3) выразим ток I1
(p) и подставим в уравнение (3.3):
Из уравнения (3.3)
(2.3.1)
(2.3.2)
Подставим численные значения элементов
По полученному изображению найдём оригинал тока .
Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.
Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.
p1
=0
0,000065p2
+0,1065p+36=0
Д=(0б1065)2
-4.
0,000065.
36=0,0019
I2
(p)=
Найдём A1
A2
A3
Коэффициент An
будем искать в виде, где N(p) – числитель, а M(p) – знаменатель
A1
=
A2
=
A3
=
Таким образом, i2
(t) будет равняться
i2
(t)=A1
.
exp(p1
t)+ A2
.
exp(p2
t)+ A3
.
exp(p3
t)=1,944-0,71e-477t
+0,3e-1162t
Искомый ток катушки i2
равняется :
i2
=1,944-0,71e-477t
+0,3e-1162t
(A)
Токи сходятся.
4 этап курсовой работы
Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её
|
|
|
|
|
Определим переходную характеристику h1
(t) цепи по напряжению UR2
. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия UC(-0)
=UC(+0)
=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1
-i2
-ic
=0
i1
.
R1
+ i2
.
R2
=U iс
=
iс
.
R3
-i2
.
R1
+Uc
=0 i1
=i2
+iс
i1
=i2
+iс
i2
(R1
+R2
)+iс
R1
=U i2
=
iс
.
R3
-i2
.
R1
+Uc
=0
iс
.
R3
+Uc
-+
ic
+
+
+
0,00043l+1=0 l=-2322,58 ()
UC св
=Ae-2322,58t
UC вын
= (B)
UC
=UC св
+UC вын
=0,278+Ae-2322,58t
A=-0,278
UC
=0,278-0,278e-2322,58t
(B)
iс
==25.
10-6.
0,278.
2322,58e-2322,58t
=0,016e-2322,58t
(A)
Uab
=ic
R3
+UC
=0,278-0,12e-2322,58t
(B)
Таким образом переходная характеристика h1
(t) будет равна
h1
(t)=UR2
(t)=0,28-0,12.
e-2322,58t
(В)
t= (c)
5 этап курсовой работы
|
Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.
Переходную характеристику h1
(t) возьмем из предыдущего этапа
h1
(t)=0,28-0,12.
e-2322,58t
(В)
tпп
=(c)
Найдёмt, t1
, t2
, U1
/
(t), U2
/
(t):
t= (с)
t1
=t=0.00043 (c) t2
=1,5t=0.00065 (c) t3
=2t=0.00086 (c)
U0
=20 (В); U1
=-5 (B); U2
=-10 (B);
U1
/
(t)=0 () U2
/
(t)= ()
U3
/
(t)= ()
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+ (B)
| t (c) | 0 | 0.0001 | 0.0002 | 0.0003 | 0.0004 | 0.00043 |
| UR2 (B) | 3.2 | 3.697 | 4.092 | 4.404 | 4.652 | 4.716 |
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+
+
-
(B)
| t (с) | 0,00043 | 0.00045 | 0.0005 | 0.00055 | 0.0006 | 0.00065 |
| UR2 (B) | 4,14 | 3,64 | 2,37 | 1,06 | -0,27 | -1,64 |
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+
+=
- )+
+ (B)
| t (c) | 0.00065 | 0.0007 | 0.00075 | 0.0008 | 0.00085 | 0.00086 |
| UR2(B) | -5,145 | -4,396 | -3,653 | -2,914 | -2,179 | -2,03 |
Запишем уравнение UR2
(t) для интервала :
UR2
=U0
.
h1
(t)+
+
-
+ (B)
| t (c) | 0.00086 | 0.0009 | 0.00095 | 0.001 | 0.0013 |
| UR2(B) | -1,97 | -1,79 | -1,60 | -1,42 | -0,707 |
Строим графики U(t) и UR2
(t) по данным таблиц.