Теория устойчивости

4. Критерий
устойчивости
Михайлова.

Частотные
критерии устойчивости
получили наиболее
широкое практическое
применение,
так как, во-первых,
они позволяют
судить об
устойчивости
замкнутой
системы по
более простой
передаточной
функции системы
W ( s ) ; во-вторых,
анализ устойчивости
можно выполнять
и по экспериментально
определенным
частотным
характеристикам;
в-третьих, с
помощью частотных
характеристик
можно судить
и о качестве
переходных
процессов в
системе.

А.В. Михайлов
первым предложил
использовать
развитые в
радиотехнике
Найквистом
частотные
методы для
анализа устойчивости
линейных систем
регулирования.
Сформулированным
им в 1938 г. критерий
устойчивости
назвали его
именем. Рассмотрим
существо этого
критерия.

Пусть характеристическое
уравнение
замкнутой
системы имеет
вид

D ( l
) = l
n + a1
l
n-1 + a2
l
n-2 + ... + an
= 0. (13)

Зная его корни
l
1 , l
2 , ... , l
n ,
характеристический
многочлен для
уравнения (13)
запишем в виде

D ( l
) = ( l
- l
1 ) ( l
- l
2 ) ... ( l
- l
n ). (14)

Im Im

0 Re 0 Re

а) б)

Рис.12. Векторное
изображение
сомно-жителей
характерис-тического
уравнения
замкнутой
системы на
плоскости :

а - для двух
корней l
и l
i ;

б - для четырех
корней l
1 , l
‘1 , l
2 , l
‘2

Графически
каждый комплексный
корень l
можно представить
точкой на плоскости.
Поэтому, в свою
очередь, каждый
из сомножителей
уравнения (14)
можно представить
в виде разности
двух векторов
( l
- l
i ), как
это показано
на рис.12,а. Положим
теперь, что l
= j w
; тогда определяющей
является точка
w
на мнимой оси
(рис.12,б). При изменении
w
от - Ґ
до +
Ґ
векторы
j w
- l
1 и j w
- l
‘1
комплексных
корней l
и l
‘1
повернуться
против часовой
стрелки, и приращение
их аргумента
равно + p
, а векторы
j w
- l
2 и j
w
- l
‘2
повернутся
по
часовой стрелке,
и приращение
их аргумента
равно - p
. Таким образом,
приращение
аргумента
arg( j w
- l
i ) для
корня характеристического
уравнения l
i , находящегося
в левой полуплоскости,
составит + p
, а для корня,
находящегося
в правой полуплоскости,
- p
. Приращение
результирующего
аргумента D
arg D( j w
) равно сумме
приращений
аргументов
его отдельных
сомножителей.
Если сре1ди n
корней характеристического
уравнения m
лежит в правой
полуплоскости,
то приращение
аргумента
составит

D
arg D( j w
) = ( n - m ) p
- m p
= ( n - 2m ) p
. (15)

- Ґ
< w
< Ґ
для левой
для правой

полуплоскости
полуплоскости

Отметим
теперь, что
действительная
часть многочлена

D ( j w
) = ( j w
)n + a1
( j w
)n-1 + a2
( j w
)n-2 + ... + an
(16)

содержит
лишь четные
степени w
, а мнимая его
часть - только
нечетные, поэтому

arg D ( j w
) = - arg D ( -j w
), (17)

и можно
рассматривать
изменение
частоты только
на интервале
w
от 0 до Ґ
. В этом случае
приращение
аргумента
годографа
характеристического
многочлена

D
arg D( j w
) = ( n - 2m ) p
/ 2 . (18)

0 Ј
w
< Ґ

Если система
устойчива, то
параметр m = 0, и
из условия (18)
следует, что
приращение
аргумента

D
arg D( j w
) = n p
/ 2 . (19)

0 Ј
w
< Ґ

На основании
полученного
выражения
сформулируем
частотный
критерий устойчивости
Михайлова: для
того чтобы
замкнутая
система автоматического
регулирования
была устойчива,
необходимо
и достаточно,
чтобы годограф
характеристического
многочлена
в замкнутой
системе (годограф
Михайлова)
начинался на
положительной
части действительной
оси и проходил
последовательно
в положительном
направлении,
не попадая в
начало координат,
n квадрантов
комплексной
плоскости (
здесь n - порядок
характеристического
уравнения
системы).

j V’ j V’

0 U’ 0 U’

а) б)

Рис.13. Примеры
годографов
Михайлова для
различных
характеристических
уравнений
замкнутых
систем:

а - устойчивые
системы при
n = 1 - 6 ; б - неустойчивые
системы при
n = 4 и различных
параметрах

Соответствующие
устойчивым
системам годографы
Михайлова для
уравнений
различных
порядков построены
на рис. 13,а. На рис.
13,б построены
годографы
Михайлова для
неустойчивых
систем при n =
4.

Введение

Одной из
основных задач
теории автоматического
регулирования
является изучение
динамических
процессов,
происходящих
в автоматических
системах.
Автоматические
системы при
нормальной
эксплуатации
должны поддерживать
определенный
режим работы
объекта регулирования
при действии
на него многих
возмущающих
факторов. Такое
поведение может
быть достигнуто
лишь в системах
автоматического
регулирования,
обладающих
устойчивостью
по отношению
к этим воздействиям.
Устойчивость
системы означает,
что малое изменение
входного сигнала
или какого-нибудь
возмущения,
начальных
условий или
параметров
не приведут
к значительным
отконениям
выходного
сигнала. Это
определение
раскрывает
физический
смысл понятия
устойчивости.

Теория устойчивости,
основоположниками
которой являются
великий русский
ученый А.М. Ляпунов
и великий французский
ученый А.Пуанкаре,
представляет
собой важный
раздел прикладной
математики.
Создателями
современной
теории устойчивости
являются русские
ученые Н.Г. Четаев,
Е.А. Барбашин,
Н.П. Еругин, Н.Н.
Красовский.

1. Понятие
устойчивости,
асимптотической
устойчивости
и неустойчивости
по Ляпунову.

Рассмотрим
задачу Коши
для нормальной
системы дифференциальных
уравнений

x’ = f ( t , x )

(1)

с начальными
условиями
x ( t0 ) = x0

(2)

где
x = ( x1, x2,
... , xn ) - n -
мерный вектор;
t О
I = [t0, + Ґ
[ - независимая
переменная,
по которой
производится
дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f1
( t , x ) , f2 ( t
, x ) , ... , fn (
t , x ) ) - n - мерная вектор
- функция.

Комментарии
к задаче Коши
(1), (2). Для
простоты восприятия
эту задачу
можно сначала
трактовать
как задачу Коши
для скалярного
дифференциального
уравнения
первого порядка
вида x’= f ( t , x ) с
начальным
условием x ( t0
) = x0. С
целью упрощения
все рисунки
п. 10 ,если
нет специальных
оговорок, приводится
для случая n =
1.

x

0
t

Рис.1

Так
как задача
теории устойчивости
впервые возникла
в механике,
то переменную
t принято интерпретировать
как время, а
искомую вектор-функцию
x ( t ) - как движение
точки в зависимости
от времени в
пространстве
Rn+1 (рис.1)

Пусть
задача Коши
(1), (2) удовлетворяет
условиям теоремы
существования
и единственности.
Тогда через
каждую точку
( t0 , x0
) области
единственности
решений проходит
только одна
интегральная
кривая. Если
начальные
данные ( t0
, x0 )
изменяются,
то изменяется
и решение. Тот
факт, что решение
зависит от
начальных
данных, обозначается
следующим
образом: x ( t ) = x ( t
; t0 , x0
). Изменение
этого решения
в данной математической
модели с изменением
начальных
данных ( t0
, x0 ) приводят
к существенному
изменению
решения x ( t ; t0
, x0 ) , приводит
к тому, что такой
моделью нельзя
пользоваться,
поскольку
начальные
данные ( t0
, x0 ) получаются
из опыта, а изменения
не могут быть
абсолютно
точными. Естественно,
что в качестве
математической
модели пригодна
лишь та задача
Коши, которая
устойчива к
малым изменениям
начальных
данных.

Определим
понятие устойчивости,
асимптотической
устойчивости
и неустойчивости
в смысле Ляпунова.
Для этого отклоение
решения x ( t ) =
x ( t ; t0 , x0
) , вызванное
отклонением
D
x0 начального
значения x0
, будем записывать
следующим
образом:

|
x ( t ; t0 , x0
+ D
x0 ) - x ( t ) |
= | x ( t ; t0 ,
x0 + D
x0 ) - x ( t ; t0
, x0 ) |.

Определение
1. Решение
x ( t ) = x ( t ; t0
, x0 ) системы
(1) называется
устойчивым
по Ляпунову
в положительном
направлении
(или устойчивым),
если оно непрерывно
по x0
на интервале
I = = [ t0,
+ Ґ
[ , т.е. "
e
> 0 $
d
> 0 такое, что
"
D
x0

|
D
x0 | Ј
d
Ю
| x ( t ; t0 ,
x0 + D
x0 ) - x ( t ) |
Ј
e
"
t і
t0.

Если, кроме
того, отклонение
решения x ( t ) стремится
к нулю при t ®
+ Ґ
для достаточно
малых D
x0 , т.е.
$
D
> 0 "
D
x0.

|
D
x0 | Ј
D
Ю
| x ( t ; t0 ,
x0 + D
x0 ) - x ( t ) |
®
0 , t ®
+ Ґ
. (3)

то
решение x ( t ) системы
(1) называется
асимптотически
устойчивым
в положительном
направлении
(или асимптотически
устойчивым).

Аналогично
определяются
различные типы
устойчивости
решения в
отрицательном
направлении.

Комментарий
к определению
1. 1) Геометрически
устойчивость
по Ляпунову
решение х ( t )
можно интерпритировать
следующим
образом ( рис.1
) : все решения
x ( t ; t0 , x0
+ D
x0 ) , близкие
в начальный
момент t0
к решению x ( t )
(т.е. начинающиеся
в пределах d
- трубки ) , не
выходят за
пределы e
- трубки при
всех значениях
t і
t0 .

x

0
t

Рис.2

2)
Асимптотическая
устойчивость
есть устойчивость
с дополнительным
условием (3) :
любое решение
x1 ( t ) ,
начинающееся
в момент t0
в D
- трубке, с течением
времени неограниченно
приближается
к решению x ( t )
(рис.2). Трубка
радиуса D
называется
областью притяжения
решения x ( t ). Решение
x2 ( t ),
начинающееся
при t = t0
за пределами
области притяжения,
но в пределах
d
- трубки, не
покидает e
- трубку, хотя
может и не
приближаться
к решению x(t).

Определение
2. Решение
x ( t ) = x ( t ; t0
, x0 ) системы
(1) называется
неустойчивып
по Ляпунову
в положительном
направлении
(или неустойчивым),
если оно не
является устойчивым
в положительном
направлении.

Аналогично
определяется
неустойчивость
в отрицательном
направлении.

Комментарий
к определению
2. Геометрически
неустойчивость
по Ляпунову
означает, что
среди решений,
близких в начальный
момент t0
к решению х ( t
) , найдется хотя
бы одно, которое
в некоторый
момент t1
( свой для каждого
такого решения)
выйдет за пределы
e
- трубки (рис.3).

Приведем
примеры из
механики,
иллюстрирующие
определения
различных типов
устойчивости
для одномерного
случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим
маятник, состоящий
из точечной
массы m, укрепленной
на невесомом
стержне длиной
l (рис.4). Выведем
маятник из
состояния I,
отклонив стержень
на угол a
; тогда, как
известно из
опыта, он будет
стремиться
занять вновь
положение I.
Если пренебречь
сопротивлением
окружающей
среды, то маятник
будет колебаться
возле положения
I сколь угодно
долго с амплитудой,
равной начальному
отклонению,
- это модель
устойчивого
положения
равновесия.
Если же учитывать
сопротивление