1. Введение
Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных[1]
оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.
Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям[2]
и оказались достаточно эффективными, [5-11].
Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.
2. Цвет и яркость спектозонального изображения.
Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n
детекторов излучения со спектральными чувствительностями j
=1,2,...,n
, где
Î(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e
(
)³0,
Î
(0,¥), далее называемой излучением, образуют вектор , w
=. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов ,
Î
(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал назовем яркостью излучения
e
. Вектор
назовем цветом излучения
e
. Если цвет e
и само излучение назовем черным
. Поскольку равенства и эквивалентны, равенство имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e
назовем белым и его цвет обозначим если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:
.
Векторы , и , , удобно считать элементами n
-мерного линейного пространства . Векторы f
e
, соответствующие различным излучениям e
, содержатся в конусе . Концы векторов содержатся в множестве , где Ï - гиперплоскость .
Далее предполагается, что всякое излучение , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями все их выпуклые комбинации (смеси) Поэтому векторы в образуют выпуклый конус , а векторы .
Если
то и их аддитивная смесь
. Для нее
. (1)
Отсюда следует
Лемма 1.
Яркость fe
и цвет
j
e
любой аддитивной смеси e
излучений e1
(
×),...,em
(
×)
, m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых
.
Подчеркнем, что равенство
, означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e
и , как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e
на в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.
Далее предполагается, что вектор w
таков, что в E можно указать базовые излучения , для которых векторы , j
=1,...,n
, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными
, , j
=1,...,n
. В таком случае излучение
характеризуется лишь цветом
, j
=1,...,n
.
Для всякого излучения e
можно записать разложение
,(1*)
в котором - координаты в базисе ,
или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i-
го детектора, отвечающий j-
ому излучению ej
(×), i
, j
=1,...,n
. Матрица - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений неотрицательны и , j
=1,...,n.
При этом яркость и вектор цвета , , j
=1,...,n
, (конец которого лежит в Ï) определяются координатами a
j
и цветами излучений , j
=1,...,n
, и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e
.
В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .
Заметим, что слагаемые в (1*), у которых aj
<0,[3]
физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj
>0:
. В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.
Определим в скалярное произведение и векторы , биортогонально сопряженные с : , i
,j
=1,...,n
.
Лемма 2. В
разложении
(1*) , j=1,...,n
, . Яркость
, где
, причем вектор
ортогонален гиперплоскости Ï, так как
, i,j=1,...,n.
Что касается скалярного проиведения
, то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов
были координатами f
e
в некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов и, тем более, для , [4]
.
Пусть Х
- поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R2
, или на сетке ,
спектральная чувствительность j
-го детектора излучения, расположенного в точке
; - излучение, попадающее в точку
. Изображением назовем векторнозначную функцию
(2**)
Точнее, пусть Х
- поле зрения, (Х
, С
, ) - измеримое пространство Х
с мерой C -
s-алгебра подмножеств X
. Цветное (спектрозональное) изображение
определим равенством
, (2)
в котором почти для всех ,
, -
m-измеримые функции на поле зрения X
, такие, что
.
Цветные изображения образуют подкласс функций лебеговского класса
функций . Класс цветных изображений обозначим LE
,n
.
Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент
называется цветным изображением, а условие
(2*)
условием физичности изображений f
(×).
Если f
-
цветное изображение (2), то , как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. ,
. Изображение , назовем черно-белым вариантом цветного изображения
f
,
а цветное изображение
, f(x)
¹0
, x
ÎX
- цветом изображения f
. В точках множества Â={x
ÎX
: f
(x
)=0} черного цвета
(x
), x
Î
Â, - произвольные векторы из , удовлетворяющие условию: яркость
(x
)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f
будем также называть цветное изображение b
(×), имеющее в каждой точке Х
ту же яркость, что и f
, b(x)=f(x), x
ÎX
, и белый цвет, b
(x)=b
(x)/b(x)=
b
, x
ÎX.
3. Форма цветного изображения.
Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x)
модулирует яркость изображения в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f
(x)
может измениться длина, но направление останется неизменным.
Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e
и цветом j
нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f
(x)
в терминах преобразования его цвета j
(×). Для этого определим отображение A
(×):, ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .
Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A
(j
), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j
.
Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство влечет . Если - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A
(j
¢
) и A
(j
) цвет изображения может оказаться одинаковым[5]
.
Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.
Для определения понятия формы цветного изображения f
(
×
)
на удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1), 2) , , то , ; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, означает, что изображения f
иg
сравнимы по форме, причем формаg
не сложнее, чем форма f
. Если и , то f
и g
назовем совпадающими по форме
(изоморфными), f
~
g
. Например, если f
и g
- изображения одной и той же сцены, то g
, грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f
, если .
В рассматриваемом выше примере преобразования изображений
если между множествами A
(j
), и A
¢
(j
¢
), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A
¢
(j
¢
(j
))= A
(j
),, причем, если . В этом случае равенства и эквивалентны, и изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.
Если же не взаимно однозначно, то A
¢
(j
¢
)=U
A
(j
) и . В этом случае равенство влечет (но не эквивалентно) , передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .
Пусть, скажем, g
- черно-белый вариант f
, т.е. g(x)=f(x)
и g
(x)/g(x)=
b
, x
ÎX
. Если преобразование - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f
g
изображения одной и той же сцены, но в g
вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть F
- некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования F
ÎF , поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f
,
то они, тем более, не будут отражены в g
.
Формой
изображения f
назовем множество изображений
, форма которых не сложнее, чем форма f`
, и их пределов в
(черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f
в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее
.
Если считать, что для любого изображения
,
то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости в в том смысле, что .
Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.
Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X
в виде здесь - индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi
, i=1,…...,N,
положительной меры поля зрения Х
, на каждом из которых функции , , j
=1,...,n
, i
=1,...,N
, непрерывны. Поскольку согласно лемме 2
, (3)
то цветное изображение fe
,
такого объекта характеризует его
форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве Ai
, i
=1,...,N
. Для изображения , где , также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai
, если , - непрерывные функции.
Если, в частности, цвет и яркость
постоянны на
Ai
, i
=1,...,N
, то это верно и для всякого изображения , если не зависит явно от
. Для такого изображения примем следующее представление:
, (4)
его черно-белый вариант
(4*)
на каждом Ai
имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)
(4**)
не меняется на Ai
и равен , i
=1,...,N
.
Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения
(4), имеющего на различных множествах Аi
имеет несовпадающие яркости
и различные цвета
, определим как выпуклый замкнутый в
конус:
. (4***)
v(a)
, очевидно, содержится в n
×
N
мерном линейном подпространстве
, (4****)
которое назовем формой a(
×
)
в широком смысле.
Форму в широком смысле любого изображения a(
×
),
у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai
,i=1,...,N,
определим как линейное подпространство, натянутое не вектор-функции F
a(
×
),F
Î
F,
где F
- класс преобразований , определенных как преобразования векторов a(x)
®F
a(x)
во всех точках x
Î
X
; здесь F
- любое преобразование . Тот факт, что F
означает как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения.
Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(
×
)
(4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А
i
, i=1,…………..,N
. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a
(×)), если речь идет о форме в широком смысле.
Лемма 3
. Пусть {Аi
} - измеримое разбиение X: .
Изображение
(3) имеет на каждом подмножестве
Ai
:
-постоянную яркость
и цвет
, если и только если выполняется равенство
(4);
-постоянный цвет
, если и только если в
(3) ;
-постоянную яркость
f
i
, i=1,...,N
, если и только если в
(3) не
зависит от
, i=1,…...,N.
Доказательство
. На множестве A
i
яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]
, , i=1,.…..,N.
Если выполнено равенство (4), то и от не зависят. Наоборот, если и , то и , т.е. выполняется (4).
Если , то цвет не зависит от . Наоборот, пусть не зависит от . В силу линейной независимости координаты
(i)
(x)
не зависят от , т.е. и, следовательно, где - яркость на A i
и . Последнее утверждение очевидно -
Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств
Ai
, i=1,...,N,
поля зрения
X
.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
, (5)
где, - индикаторная функция Ai
, ,функция gi
задает распределение яркости
(6)
в пределах Ai
при постоянном цвете
, i=1,...,N
, (7)
причем для изображения (5) цвета
j
(i)
, i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g(i)
, i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям
i=1,.…..,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки , позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на Ai
задается функцией а цвет на Ai
равен
(7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех изображений
(8)
,
каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого Ai
, i=1,...,N.
Форма таких изображений не сложнее, чем форма f
() (5), поскольку в изображении на некоторых различных подмножествах Ai
, i=1,...,N,
могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f
() (5). Совпадение цвета на различных подмножествах Ai
, i=1,...,N
ведет к упрощению формы изображения по сравнению с формой f()
(5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных Ai
, i=1,...,N
,считаются изоморфнымиf
и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f
. Если , то, очевидно, .
Если в (8) яркость , то цвет на Ai
считается произвольным (постоянным), если же в точках некоторого подмножества , то цвет на Ai
считается равным цвету на , i=1,...,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на Ai
, i=1,...,N
, тот же цвет, что и у то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости остаются произвольными (если , то цвет на Ai
определяется равным цвету f
на Ai
, i=1,...,N
).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f
в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости при неизменном цвете j
(x
) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения
(9)
назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)
¹
0, m-почти для всех , [ср. 2]. является линейным подпространством , содержащем любую форму
, (10)
в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .
Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.
Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения в том случае, когда считается, что для любого преобразования , действующего на изображение как на вектор в каждой точке и оставляющего элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле определяется как оператор наилучшего приближения изображения изображениями
где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что
(10*)
а - оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для является тот факт, что, если f
(x)=f
(y),
то для любого.
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения поля зрения X
.
Задано разбиение
, требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом
.
Рассмотрим задачу наилучшего приближения в цветного изображения f
(
×)
(2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение поля зрения X
и требуется определить из условия
(11)
Теорема 1
.
Пусть
. Тогда решение задачи
(11) имеет вид
,i=1,...,N, j=1,...,n, (12)
и искомое изображение
(4) задается равенством
. (13)
Оператор является ортогональным проектором на линейное подпространство
(4****) изображений
(4), яркости и цвет
а которых не изменяются в пределах каждого Ai
, i=1,...,N.
Черно-белый вариант
(4*) цветного изображения
(4) является наилучшей в
аппроксимацией черно-белого варианта
цветного изображения
f
,
если цветное изображение
(4) является наилучшей в
аппроксимацией цветного
изображения
f
.
Оператор
, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого
.
В точках множества
цвет
(4**) наилучшей аппроксимации
(4) цветного изображения
f
(2) является
цветом аддитивной смеси составляющих
f
излучений, которые попадают на
.
Доказательство
.
Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П -
ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f
на . Второе утверждение следует из равенства
, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств
,i=1,...,N
вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k
следует заменить на x
ÎX
. ¦
Замечание 1.
Для любого измеримого разбиения
ортогональные проекторы
и
определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображени
я
(4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого
, различны для различных
, ибо
, и форму в широком смысле черно-бел
ого изображени
я, яркость котор
ого постоянна на каждом
и различна для разных
,[2].
Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор
на выпуклый замкнутый конус (4***)
Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор
на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [2]. Дело в том, что оператор определяет форму
изображения (4), а именно
- множество собственных функций оператора
. Поскольку
f(
×
) -
наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких -. Поэтому проектор
можно отождествить с формой изображения
(4).
Аналогично для черно-белого изображения a(
×
)
,[7]
[2]. И проектор
можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].
Примечания.
Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если оператор наилучшего в приближения злементами выпуклого замкнутого (в и в ) конуса , то . Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения элементами можно вначале найти ортогональную проекцию изображения на , а затем спроецировать в на . При этом конечномерный проектор для каждого конкретного конуса может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П
.
Форма в широком смысле (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением
,
если векторы попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле может быть определена и как оператор П
ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).
Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство (10*) для произвольного изображения . Пусть - множество значений и - измеримое разбиение X , порожденное , в котором - подмножество X , в пределах которого изображение имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .
Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П
на . Покажем, что П
можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений
(*)
где -
индикатор множества
, принадлежащего измеримому разбиению
В (*)
можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
- -
C - измеримо,
;
- N+1
-oe разбиение является продолжением N-
го, т.е. для любого ,
найдется i=i(j),
,
такое, что
;
- минимальная s-алгебра, содержащая все ,
совпадает с C.
Лемма (*).
Пусть
- исчерпывающая последователь-ность разбиений X и
- то множество из
, которое содержит
. Тогда для любой C-измеримой функции
и
m-почти для всех
[ ]. -
Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П
произвольного изображения . Пусть - минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где - прообраз борелевского множества , B -
s-алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).
Теорема (*).
Пусть
, -
исчерпывающая последовательность разбиений
X, причем
- минимальная
s-алгебра, содержащая все
и П(N)
- ортогональный проектор
, определенный равенством
,
Тогда
1) для любого
-измеримого изображения
и почти для всех
, ,
2) для любого изображения
при
(в
), где П - ортогональный проектор на
.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1)
- продолжение разбиения A(N)
, N=1,2,...,
то последовательность проекторов П(N)
, N=1,2,...,
монотонно неубывает:
и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П.
Так как - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в
), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения
, то для любого изображения и для любого , ибо -измеримо, N
=1,2,... -
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
Заданы векторы f1
,...,fq
, требуется определить разбиение
, на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1
,...,fq.
Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f
,
в которой задано не разбиение
поля зрения X
, а векторы
в , и требуется построить измеримое разбиение
поля зрения, такое, что цветное изображение
- наилучшая в аппроксимация f
.
Так как
, (14*)
то в Ai
следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q
, или, что то же самое, =1,2,...,q
. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись
, (14)
означает, что множества (14) не пересекаются и .
Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором
(15)
и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F
,
действующий из в по формуле , , i
=1,...,q
. Очевидно, F
всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.[8]
Теорема 2.
Пусть
- заданные векторы
Rn
. Решение задачи
наилучшего в
приближения изображения f
изображениями
имеет вид
, где
- индикаторная функция множества
. Множество определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2
=F,
т.е. является пректором.
Замечание 2.
Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i
=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно
состоит из множеств
где , и имеет мало общего с разбиением (14).
Замечание 3.
Выберем векторы f
i
,i=1,..,q
единичной длины: , i
=1,...,q. Тогда
. (16)
Множества (16) являются конусами в Rn
, ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение изображения f
инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f
.
Замечание 4.
Для любого заданного набора попарно различных векторов оператор F
, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения соответственно на измеримых множествах (любого) разбиения X.
Всякое такое изображение является неподвижной (в
) точкой F:
, если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.
Иначе говоря, в данном случае формой изображения является множество всех изображений, принимающих заданные значения на множествах положительной меры любого разбиения X,
и их пределов в .
Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f
(
×
)
изображениями , в котором требуется определить как векторы
, так и множества
так, чтобы
.
Следствие 1.
Пусть
Di
,i=1,...,N,
- подмножества
Rn
(15), П -
ортогональный проектор
(13), , где
. Тогда
необходимые и достаточные условия
суть следующие
:, где
,
.
Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть -
исходные векторы в задаче (14*),
- соответствующее оптимальное разбиение (14), F
(1)
- оператор наилучшего приближения и - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения оптимальные векторы
.
Согласно выражению (13)
, и соответствующий оператор наилучшего приближения П
(1)
(13) обеспечит не менее точное приближение f
(
×
)
, чем F
(1)
: . Выберем теперь в теореме 2
, определим соответствующее оптимальное разбиение
и построим оператор наилучшего приближения F
(2)
. Тогда . На следующем шаге по разбиению
строим
и оператор П
(3)
и т.д.
В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции .
Выберем произвольно попарно различные векторы
из f
(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn
. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q))
, множества , j=1,...,N(q)
, которого образованы всеми попарно различными пересечениями множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2...
-измеримы и является продолжением
5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения поля зрения X
.
Задано разбиение
, требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai
,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
(17)
где .
Пусть A1
,...,AN
-
заданное разбиение X,
-
индикаторная функция Ai
, i=1,...,N.
Рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не требуя, чтобы
(18)
Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1
,...,AN
поля зрения X,
(см. Лемму 3).
Так как
то минимум S
(19) по достигается при
, (20)
и равен
(21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
. (22)
В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор
. (23)
Максимум (неотрицательной) квадратичной формы на сфере в Rn
, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y
i
оператора Ф
i
,отвечающем максимальному собственному значению >0,
,
и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при
Теорема 3.
Пусть A1
,...,AN
-заданное измеримое разбиение X, причем[9]
(Ai
)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения
изображениями g
(×) (17) является изображение
(24)
Операторы ,i=1,...,N,
и - нелинейные (зависящие от f
(×)) проекторы: Пi
проецирует в Rn
векторы
на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Ф
i
(23), отвечающий наибольшему собственному значению i
,
; (25)
П
проецирует в изображение
на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения
Невязка наилучшего приближения
(19*).
Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi
следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф
i
(23). Поскольку Ф
i
самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф
i
неотрицательны и среди них i
- наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi
, i=1,...,N,
и П
введем обозначения, указывающие на зависимость от f
(×):
(26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi
, i=1,...,N,
и П
(26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть f
i
- cсобственный вектор Ф
i
, отвечающий максимальному собственному значению i
. Чтобы определить следует решить задачу на собственные значения для оператора :
.
Поскольку rank=1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно i
, и ему соответствует единственный собственный вектор f
i
. Поэтому
.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для -
Лемма 4.
Для любого изображения
решение
(24) задачи
(18) наилучшего приближения единственно и является элементом
.
Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f
i
оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению i
, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
,
составляющие содержание леммы. Действительно, если то согласно (23) , поскольку включение означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N,
а поэтому и в (24) .
Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e1
,...,en
,
в котором , выходной сигнал i-
го детектора в точке (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,
где , .
Так как матрица симметрическая и неотрицательно определенная () она имеет n
неотрицательных собственных значений, которым соответствуют n
ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:
. Следовательно, вектор f
i
определен с точностью до положительного множителя , . -
Замечание 4.
Если ,т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 ,.
Наоборот, если , то
, т.е. определяется выражением (17), в котором .
Итак, пусть в изображении g
(×) (17) все векторы f
1
,.…..,fN
попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1
,...,AN
попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть множество решений уравнения
,, (27)
где , fi
- собственный вектор оператора Ф
i
: , отвечающий максимальному собственному значению i
, i=1,...,N
. В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).
Оператор П
(24), дающий решение задачи наилучшего приближения , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17).
Заданы векторы цвета
j1
,...,
jq
, требуется определить разбиение A1
,..., Aq
, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета
j1
,...,
jq
и оптимальные распределения яркостей
[10]
.
Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения
. (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого
, (29)
и достигается на
, (30)
то, как нетрудно убедиться,
, (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x
ÎX, в которых выполняется равенство могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai
или Aj
.
Пусть - разбиение , в котором
(32)
а F
: Rn
-> Rn
оператор, определенный условием
(33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в виде
, (34)
где - индикаторная функция множества Ai
(31), i=1,...,q
и F
-оператор, действующий в по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).
Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности
(35)
имеет решение
(36)
Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид
, (37)
где - индикаторная функция множества
, (38)
В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F
+
: Rn
-> Rn
, действующий согласно формуле
(39)
где
, так что ,i=1,...q.
(40)
Подытожим сказанное.
Теорема 4.
Решение задачи
(28) наилучшего в
приближения изображения
изображениями на искомых множествах
A1
,...,Aq
разбиения X заданные цветами
j
1
,...,
j
q
соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A1
,...,Aq
определено в
(31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению
(37) и определяет искомое разбиение формулами
(38). Решение
(34) инвариантно относительно любого, а
(37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.
Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов
j
1
,...,
j
q
на некоторых множествах положительной меры A1
,...,Aq
разбиение поля
зрения можно назвать оператор
(34), формой такого изображения является оператор F
+
(37). Всякое такое изображение g
(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F
+
g
(×)=g
(×), те из них, у которых
m
(Ai
)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму.
-
В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения такими изображениями
, (41)
Теорема 5.
Решение
задачи
(41) дается равенством
, (42)
в котором
, где
. Невязка приближения
, (43)
( !) -
Определение.
Формой изображения, заданного распределением цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений
или - проектор на .
Всякое изображение g
(×), распределение цвета которого есть j
(×) и только такое изображение содержится в и является неподвижной точкой оператора
: g
(×) = g
(×). (#)
Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j
(×), не представлены на изображении f
(×) = f
(×)j
(×) в той области поля зрения, в которой яркость f
(x
)=0, x
ÎX, будем считать, что - форма любого изображения f
(x
) = f
(x
)j
(x
), f
(x
)>0, x
ÎX(mod
m
), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g
(×), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f
(×).
Замечание 5. Пусть j
1
,...,
j
N
- исходный набор цветов, , A1
,...,AN
- соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и
, (34*)
- наилучшее приближение f
(×). Тогда в равенстве (24)
, (24*)
если A1
,...,AN
- исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A1
,...,AN
- заданное в теореме 3 разбиение X и f
1
,...,f
N
- собственные векторы операторов Ф1
,...,ФN
(23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f
1
,...,f
N
и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j
i
как цвет f
i
в (24), i=1,...,N
.
Проверка этого замечания не представляет затруднений.
В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого Ai
, i=1,...,N
.
Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai
, i=1,...,N
, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai
, i=1,...,N
, например, выбрав вместо (17) класс изображений
(17*)
в котором в (3).
Поскольку в задаче наилучшего приближения f
(
×)
изображениями этого класса предстоит найти , векторы при любом i=
1,...,N
, можно считать ортогональными, определив
, (*)
из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N
векторы должны быть определены из условия
(**)
при дополнительном условии ортогональности
. Решение этой задачи дается в следующей лемме
Лемма 5.
Пусть
ортогональные собственные векторы оператора Ф
i
(23), упорядоченные по убыванию собственных значений:
.
Тогда решение задачи (**) дается равенствами
.
Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф
i
- самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в Rn
. Пусть P
i
- ортогонально проецирует в Rn
на линейную оболочку собственных векторов и
[Pi
Фi
Pi
] - сужение оператора Pi
Фi
Pi
на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi
Фi
Pi
]
, где - j
-ое собственное значение оператора (см., например, [10]). Пусть. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме. ¦
Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.
Теорема 3*
. Наилучшее приближение любого изображения f
(
×) изображениями
(17*) имеет вид
,
Где : ортогональный проектор на линейную оболочку
, собственных векторов задачи
.
Невязка наилучшего приближения равна
.-
Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f
изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение и функции , как решение задачи
(30)
При любом разбиении минимум в (30) по достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что
(31)
где точки , в которых выполняется равенство могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).
Таким образом доказана
Теорема 6.
Пусть
заданные векторы
Rn
. Решением задачи
(30) является изображение
,
где ортогональный проектор
определен равенством
(25), а
- индикаторная функция множества
(31), i=1,...,N. Невязка наилучшего
приближения
равна
. -
Замечание 5.
Так как при
,
то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде
, (32)
показывающем, что множество
в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения
, не изменяющего его цвет
.
Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f
(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены и ci
0
, i=1,...,N, такие, что
.
Теорема 7.
Для заданного изображения
f
(
×)
определим множества
равенствами
(32), оператор П
- равенством
(24), - равенствами
(25). Тогда
,
определено равенством
(32), в котором
- собственный вектор оператора
Ф
i
(23), отвечающий наибольшему собственному значению,
причем в
(23) , наконец,
будет дано равенством
(20), в котором
, где
- собственный вектор оператора
, отвечающий наибольшему собственному значению
; наконец,
. -
Замечание 6.
Следующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f
(
×)
зададим и по теореме 5 найдем и , затем по теореме 3, используя найдем и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по найдем и и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k
=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .
Формы (10) и (9) удобно задавать операторами П
f
и П*
f
соответственно.
Теорема 7.
Форма
в широком смысле изображения
определяется ортогональным проектором П*
f
:
,
при этом
и
.
Доказательство. Так как для , то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум , решение которой определяется условиями (см., например, [11]) . Отсюда следует, что и тем самым доказано и второе утверждение -
Замечание.
Так как , где f
i
(x)
- выходной сигнал i
-го детектора в точке , причем f
i
(x)
³
0 ,i=1,...,n
, и, следовательно цвет реальных изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия и , эквивалентны. Если же для некоторого , то условие не влечет . Заметим также, что для изображений g
(×), удовлетворяющих условию , всегда .
Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k
детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k
регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением
(40)
В котором
. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f
(×
) , в которых f
1
(×
) - любая неотрицательная функция из , j
1
(×
) - фиксированное векторное поле цвета, f
2
(×
) - термояркость, j
2
(×
) - термоцвет в точке . Форма П
*
f
видимой компоненты f
(×
) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче
, в данном случае
, причем П
*
f
действует фактически только на "видимую компоненту"g
(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g
(×) в ноль.
Форма ИК компоненты f
(×
) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j
2
(×
)f
2
(×
).
Некоторые применения.
Задачи идентификации сцен.
Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.
1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения
.
Можно ли считать f
(×
) и g
(×) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?
В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f
(×) и g
(×) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета , для которого v
(j
(×)) содержит f
(×) и g
(×). Если , и , то, очевидно, существует , при котором f
(x
)Îv
(j
(×)), g(x
)Îv
(j
(×)), а именно, , , если , , если , и, наконец, - произвольно, если .
На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g
(×) изображением сцены, представленной изображением f
(×)? Ответ следует считать утвердительным, если
.
Здесь j
(×) - распределение цвета на изображении f
(×), символ ~0
означает, что значение d(g
(×)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g
(×) и f
(×) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g
(×) по сравнению с распределением цвета f
(×), представлены в .
2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения
.
Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f
(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?
Пусть П
- форма в широком смысле изображения f
(×), определенная в теореме @, П*
-
форма f
(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если . Если изменение g
(×) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на .
3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.
Пусть f
(×) - заданное изображение, A
ÌX - подмножество поля зрения, cA
(×) - его индикатор, cA
(×)f
(×) -назовем фрагментом изображения f
(×) на подмножестве A,
представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f
(×). Пусть g
(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f
(×). Задача состоит в том, чтобы указать на g
(×) фрагмент изображения, представляющий на f
(×) фрагмент сцены и совместить его с cA
(×)f
(×).
Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R2
->R2
, преобразование изображения назовем сдвигом g
(×) на h.
Здесь
Q
(h
): Rn
->Rn
, h
ÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h
¢
ÎH даст
.
В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h
изображения g
(×) в “окне” A
:
(100)
причем, поскольку где то в (100) - ограничение на сдвиг “окна” А
, которое должно оставаться в пределах поля зрения X.
Если кроме цвета g
(×) может отличаться от f
(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и - форма фрагмента f
(×), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум
.(101)
При этом считается, что фрагмент изображения g
(×), соответствующий фрагменту cA
(×)f
(×), будет помещен в “окно”.А
путем соответствующего сдвига h=h*
,
совпадает сcA
(×)f
(×) с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что
.
т.е. в (101) при h=h*
достигается минимум.
4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.
Рассмотрим два изображения и . Определим форму в широком смысле как множество всех линейных преобразований : (A -
линейный оператор R2
->R2
, не зависящий от x
ÎX). Для определения проектора на рассмотрим задачу на минимум
. [*]
Пусть , , тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A*
AS - 2trAB ~
. Ее решение (знаком -
обозначено псевдообращение).
=
=
Рис.1.
f
e
- вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), j
e
- его цвет; j1
,j2
,j3
, - векторы (цвета) базовых излучений, b
- белый цвет, конец вектора b
находится на пересечении биссектрис.
Литература.
[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.
[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.
[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.
[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.
[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.
[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.
[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.
[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.
[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.
[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.
[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.
[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).
[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.
[1]
????????, ? ????? ? ?????????? ??????? ?????, ??????, ??????? ???? ? ?.?.
[2]
???????? ???????????????? ??????? ??????? ??????????? ?????????? ? ??????[3].
[3]
?????? f
e
????? ????? ????????????? ??????????, ???? ?? ?? ??????????? ????????? ??????
[4]
????? ????????????? ?????????, - ???????? ????????? ????? ? Rn
.
[5]
???? - ????? ????????? ??????????? , ?? ????????? A
(j
) ????? “??????????” ?? ????????? ??????????? A
¢
(j
¢
), ?? ?????? ?? ??????? ???? ??????????, ?? ????????? ?? ?????? ????????????? A
¢
(j
¢
). ??????, ????????? ????? ?????? ???????? ?????? ?? ??????? ??????????? f
(
×), v(f
(
×))
?? ????? ????????? ???????????, ??????? ????? ???????? ????????????? ???????????? ?????.
[6]
??? ???????? ??????? ??????????? ????????? ????????????? ? ?????? ????? ???? ?????? ?.
[7]
-
????? ??????????????? ???????
????????????? .
[8]
???? ? ?? ?? ????? F
???????????? ??? ??? ????????? , ??? ? ??? ????????? . ??? ????????? ?? ?????? ???????? ????????????? ? ????? ???????????? ? ??????.
[9]
???? m(As
)=0,
?? ? ?????? ?????????? ??????????? (18) ???? ? ????????????? ??????? ?? As
????? ??????? ?????????????, ????????? ?? ???????? ?? ?????? ?? ???????? ??????? s.
[10]
??????? j1
,...,
jq
??????????, ????????, ????????? ?????? ????????, ?????????????? ???????.