Физические основы теории нетеплового действия электродинамических полей в материальных средах
В.В. Сидоренков, МГТУ им. Н.Э. Баумана
Введение.
Приоритет прямого доказательства нетеплового действия электромагнитных (ЭМ) полей на физико-механические свойства материалов принадлежит Вертгейму [1], где по удлинению проволочных образцов различных металлов при постоянной внешней механической нагрузке в условиях пропускания электрического тока либо только при термическом воздействии для одной и той же температуры образца определялись соответственно модули упругости G1 и G2 исследуемого материала. Наличие разности ΔG = |G1 – G2| служило доказательством дополнительного нетеплового действия электрического тока на величину модуля упругости металла. Однако в то время этот эффект не был актуален, а потому не востребован, и лишь спустя 125 лет указанное явление было переоткрыто Троицким [2]. Теперь феномен нетеплового действия ЭМ полей на свойства материальных сред не только всесторонне изучается, но и нашел успешное применение в технологиях обработки металлов и других материалов [3, 4].
Тем не менее, надо признать, что при значительных успехах в приложениях научное развитие этого направления исследований всегда сдерживалось концептуально, поскольку строгой электродинамической теории, последовательно описывающей нетепловое действие ЭМ полей на материальные среды, попросту не существовало. Объективность такого заявления иллюстрирует, в частности, многолетняя дискуссия в научной печати о природе электропластического эффекта (ЭПЭ) в металлах (например, в [3, 4]). Парадокс в том, что одни аргументированно на основе анализа уравнений ЭМ поля показывают, что ЭПЭ электродинамически обусловлен проявлением квадратичных по току закона Джоуля-Ленца и пинч-эффекта, а другие достоверно в многочисленных экспериментах убеждаются в нетепловой (линейной по току) природе ЭПЭ.
Основы электродинамики нетепловых процессов в материальных средах.
Попытаемся разобраться в этой далеко непростой ситуации, для чего рассмотрим систему электродинамических уравнений Максвелла - уравнения ЭМ поля:
(a) , (b) , (c) , (d) . (1) Здесь компоненты ЭМ поля векторы электрической и магнитной напряженности связаны с соответствующими векторами индукции и и плотности электрического тока посредством материальных соотношений:
, , ,
описывающих отклик среды на воздействие ЭМ поля; - объемная плотность стороннего электрического заряда, и - электрическая и магнитная постоянные, , и - удельная электрическая проводимость, относительные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, соответственно.
Фундаментальным следствием данных уравнений является тот факт, что описываемое ими поле распространяется в пространстве в виде ЭМ волн, переносящих поток ЭМ энергии , аналитическая формулировка закона сохранения которой также следует из этих уравнений:
. (2)
Видно, что в данной точке среды диссипативные процессы электропроводности и изменения электрической и магнитной энергий порождаются потоком извне вектора Пойнтинга ЭМ энергии , и наоборот.
Однако, согласно уравнениям системы (1), в принципе невозможны электродинамические потоки, переносящие только электрическую либо магнитную энергии, хотя процессы соответствующей поляризации сред существуют раздельно и энергетически независимы. Поэтому продолжим обсуждение уравнений (1) с целью их модификации для поля ЭМ векторного потенциала, поскольку новые уравнения позволят последовательно описать процессы нетеплового действия электродинамических полей в материальных средах: электрическую и магнитную поляризацию среды, передачу ей момента ЭМ импульса.
Сами исходные соотношения первичной взаимосвязи компонент ЭМ поля и поля ЭМ векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами получим непосредственно из уравнений (1):
(a) , (b) , (c) , (d) . (3)
Здесь соотношение (3a) вводится с помощью уравнения (1d), так как дивергенция ротора произвольного векторного поля тождественно равна нулю. Аналогично (3b) следует из уравнения (1b) при = 0, справедливого для сред с локальной электронейтральностью. Далее подстановка (3a) в (1а) дает (3c), а подстановка (3b) в (1c) с учетом закона Ома электропроводности приводит к (3d), где - постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет ее электропроводности. Как представляется в [5, 6], исходные соотношения (3) фундаментальны и перспективны с точки зрения физической интерпретации поля ЭМ векторного потенциала, выяснения его роли и места в явлениях электромагнетизма. Покажем это.
Главное фундаментальное следствие соотношений (3) состоит в том, что подстановки (3c) в (3b) и (3d) в (3a) приводят к системе электродинамических уравнений поля ЭМ векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами, структурно полностью аналогичной системе уравнений (1):
(a) rot, (b) div, (4)
(c) rot, (d) div.
Чисто вихревой характер компонент поля векторного потенциала обеспечивается условием калибровки посредством дивергентных уравнений (4b) и (4d), которые также представляют собой для уравнений (4a) и (4c) начальные условия в математической задаче Коши, что делает систему (4) замкнутой.
Подстановки соотношения (3с) в продифференцированное по времени () соотношение (3a) и аналогично (3d) в (3b) дают систему электродинамических уравнений ЭМ поля (1) при = 0, где уравнения (1d) и (1b) получаются взятием дивергенции от (3a) и (3b). Уравнения (1а) и (1с) можно также получить, если взять ротор от (3с) и (3d) при подстановке в них (3а) и (3b).
Применение операции ротора к (3c) и подстановка в него (3a) с учетом (3d) преобразует систему (3) в другую систему теперь уже уравнений электрического поля с компонентами напряженности и вектор-потенциала :
(a) rot, (b) div, (5)
(c) rot, (d) div.
Соответственно взятие ротора от соотношения (3d) и подстановка в него (3b) с учетом (3c) снова преобразует систему соотношений (3) в еще одну систему уравнений классической электродинамики систему уравнений магнитного поля с компонентами напряженности и векторного потенциала :
(a) rot, (b) div, (6)
(c) rot, (d) div.
Как видим, соотношения (3) функциональной первичной взаимосвязи ЭМ поля и поля ЭМ векторного потенциала действительно фундаментальны.
Согласно структуре уравнений в представленных системах, существуют волновые уравнения не только для компонент ЭМ поля и , но и для компонент поля ЭМ векторного потенциала и в парных комбинациях этих четырех волновых уравнений в зависимости от системы. Возникает физически очевидный и принципиальный вопрос: какие это волны, и что они переносят? Таким образом, необходимо выяснить физическое содержание новых систем электродинамических уравнений.
Подобно вектору Пойнтинга плотности потока ЭМ энергии полей системы (1) рассмотрим другой потоковый вектор , который, судя по размерности, определяет электрическую энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности. Для аргументированного обоснования возможности существования такого вектора и установления его статуса воспользуемся уравнениями системы (5) и с помощью стандартных вычислений (см. (2)) получим
(7)
- соотношение, описывающее энергетику реализации процесса электрической поляризации среды в данной точке. Как видим, уравнения электрического поля системы (5) описывают чисто электрические явления, в том числе, поперечные электрические волны, переносящие поток электрической энергии.
Аналогичным образом можно ввести еще один потоковый вектор , размерность которого соответствует поверхностной плотности магнитной энергии в соотношении, описывающем энергетику процесса намагничивания среды в данной точке:
. (8)
Итак, уравнения магнитного поля системы (6) рассматривают чисто магнитные явления, устанавливают реальность поперечных магнитных волн, переносящих поток магнитной энергии.
Полученные соотношения баланса (7) и (8) описывают энергетику условий реализации обычной электрической или магнитной поляризации среды (первое слагаемое правой части соотношений) посредством переноса извне в данную точку потоком вектора или соответствующей энергии. Эти соотношения также устанавливают наличие эффектов динамической поляризации вещества (в частности, проводящих сред) за счет действия переменных во времени электрической или магнитной компонент поля ЭМ векторного потенциала. Сведения о таких динамических эффектах позволяют взглянуть по-новому на физическую сущность электродинамики процессов ЭПЭ [3, 4], понять механизм их резкой интенсификации при импульсном режиме действия ЭМ полей или электрического тока. Надо сказать, что явления динамической поляризации уже имеют прямое экспериментальное воплощение: это эффекты электродинамической индукции в металлах [7] и динамического намагничивания в ферритах и магнитоупорядоченных металлах [8].
Подобно соотношениям (7) и (8) из уравнений в системе (4) следует соотношение баланса передачи в данную точку момента импульса, реализуемого полем ЭМ векторного потенциала посредством потокового вектора :
. (9)
Здесь момент ЭМ импульса в проводящей среде создается электрической компонентой вектор-потенциала, стационарной в том числе, а в среде диэлектрика – переменными во времени электрической и магнитной компонентами.
Как видим, именно уравнения поля ЭМ векторного потенциала (4) описывают волны, переносящие в пространстве поток момента ЭМ импульса, которые со времен Пойнтинга безуспешно пытаются описать с помощью уравнений ЭМ поля (1) (см., например, результаты анализа в статье [9]). Существенно, что волны векторного потенциала не переносят энергии, поскольку в уравнениях (4) поля и отсутствуют. В этой связи укажем на пионерские работы [10], где обсуждается неэнергетическое (информационное) взаимодействие векторного потенциала со средой при передаче в ней потенциальных волн и их детектирование с помощью эффекта, аналогичного эффекту Ааронова-Бома.
О физическом смысле поля электромагнитного векторного потенциала.
Полевая концепция природы электричества является фундаментальной основой классической электродинамики и базируется на признании того факта, что взаимодействие разнесенных в пространстве электрических зарядов осуществляется с помощью ЭМ поля. Свойства этого поля описываются системой электродинамических уравнений Максвелла (1) откуда непосредственно вводятся понятия полей электрической и магнитной компонент векторного потенциала, физическая интерпретация которых по сей день отсутствует.
При решении этой проблемы воспользуемся полученными выше фундаментальными исходными соотношениями (3) функциональной первичной взаимосвязи ЭМ поля и поля ЭМ векторного потенциала, на основе которых физически логично предположить, что наряду с ЭМ полем векторный ЭМ потенциал есть первичная полевая характеристика самого заряда, его полевой эквивалент. Для обоснования правомерности такого предположения рассмотрим конкретные аргументы, позволяющие, наконец, разрешить проблему физического смысла ЭМ векторного потенциала, которую для магнитного вектор-потенциала (тоже, что и магнитная компонента потенциала) обсуждал в свое время еще Максвелл ([11] п. 590) при анализе электродинамических уравнений ЭМ поля.
Как известно, физические представления об электрическом заряде имеют на микроуровне существенное дополнение: элементарная частица характеризуется, в частности, не только значением заряда q, кратного заряду электрона |e-|, но и спином s, трактуемым как собственный момент количества движения частицы. Величина этого момента квантована значением h/2, где h - постоянная Планка. Согласно предположению, сопоставим эти локальные характеристики микрочастицы и ее некое дополнительное собственное поле. Конкретно, например, для электрона, электрическая компонента этого поля соответствует заряду e, а магнитная - удельному (на единицу заряда) кинетическому моменту , определяющему, как известно [12], квант магнитного потока. Наша задача показать далее, что предполагаемое гипотетическое поле микрочастицы (совокупно, и макрообъекта) является полем ЭМ векторного потенциала.
Сначала рассмотрим поле электрического векторного потенциала . Для этого соотношение (3b) связи векторов электрической индукции и вектор-потенциала для большей наглядности и математической общности представим в интегральной форме:
= . (10)
Эти соотношения устанавливают физически содержательное положение о том, что величина циркуляции поля вектора по замкнутому контуру С равна электрическому потоку через поверхность SC , опирающуюся на этот контур, то есть поляризационному электрическому заряду , индуцированному на SC . Отсюда, в частности, следует определение поля вектора электрического смещения , по величине равного плотности поляризационного заряда на пробной площадке, ориентация которой в данной точке создает на ней максимальное значение этого заряда, а нормаль к площадке указывает направление вектора . Определение как потокового вектора показывает его принципиальное отличие от линейного (циркуляционного) вектора напряженности , являющегося силовой характеристикой электрического поля.
Таким образом, согласно соотношению (10), электрический заряд создает поле электрического векторного потенциала , размерность которого есть линейная плотность электрического заряда. В итоге имеем первую фундаментальную корпускулярно-полевую пару с единицами измерения в системе СИ КулонКулон/метр.
Здесь и далее обсуждаются именно размерности физических величин, а использование в рассуждениях конкретной системы единиц их измерения не принципиально.
Корпускулярно-полевые представления подтверждаются и соотношением (3d) функциональной связи магнитной напряженности и электрического вектор-потенциала с размерностью линейной плотности электрического тока, измеряемого в СИ Ампер/метр. Следовательно, это соотношение представляет собой полевой аналог полного тока: токов проводимости и смещения , величина (сила тока) которого имеет единицу измерения Ампер.
Перейдем теперь к полю магнитного векторного потенциала , для чего рассмотрим интегральную форму соотношения (3а):
. (11)
Интегральные величины в (11) определяют магнитный поток , имеющий размерность удельного (на единицу заряда) момента импульса, с единицей измерения в системе СИ Вебер=(Джоуль∙секунда)/Кулон. При этом размерность самого вектор-потенциала может быть двоякой: либо импульс на единицу заряда, либо альтернативная ей линейная плотность момента импульса на единицу заряда. Конечно, формально математически обе эти размерности вектора тождественны, но как физические величины это различные понятия.
Однако обратим внимание на то, что циркуляционные векторы и в электродинамике Максвелла ([11] п. 12 и 14) имеют размерность линейной плотности физической величины, а потоковые векторы , и – ее поверхностной плотности
Как видим, магнитному потоку , то есть по физически оправданной аналогии с (10) “магнитному заряду” , сопоставляется его полевой эквивалент – поле магнитного векторного потенциала . В итоге имеем вторую фундаментальную корпускулярно-полевую пару , измеряемую в системе СИ (Джоуль∙секунда)/Кулон(Джоуль∙секунда)/(Кулон∙метр).
Соответственно, из соотношения (3c) размерность вихревого поля электрической напряженности равна линейной плотности момента силы на единицу заряда, что никак не опровергает известное, а лишь вскрывает физический смысл этой физической величины, единица измерения которой в системе СИ – это Вольт/метр. Следовательно, соотношение (3c) есть полевой аналог уравнения динамики вращательного движения твердого тела в механике, что адекватно рассмотренным корпускулярно-полевым представлениям.
Итак, анализ исходных соотношений (3) позволил прояснить физический смысл ЭМ векторного потенциала как полевого эквивалента локальных основных параметров микрочастицы: заряда q и спина s. Таким образом, электрический заряд , кратный заряду электрона создает электрическое поле с компонентами напряженности и вектор-потенциала , а “магнитный заряд” – удельный (на единицу заряда) кинетический момент , кратный кванту магнитного потока – магнитное поле с компонентами напряженности и вектор-потенциала . Например, для электрона имеем из (10) и (11) конкретные выражения для компонент поля ЭМ векторного потенциала: и . При этом микрочастица (совокупно, и макрообъект) обладает чисто электрической и магнитной энергиями, ЭМ энергией и моментом ЭМ импульса, условия реализации которых описываются соотношениями (7), (8), (2) и (9), соответственно.
Электродинамические аспекты теории нетеплового действия электрического тока в металлах.
В настоящее время установлено [13], что, как это ни парадоксально, металлы - это уникальная среда для изучения электродинамики нетепловых процессов. Лидером таких исследований является Троицкий [2-4], результаты работ которого, в частности, по ЭПЭ, как и его последователей у нас и за рубежом, нашли практическое применение в разнообразных технологиях обработки металлических материалов. Ниже на основе анализа следствий из представленных выше систем полевых уравнений обсуждаются электродинамические аспекты нетеплового действия постоянного электрического тока в металлах.
Начнем с традиционных уравнений ЭМ поля (1) для однородной проводящей среды в асимптотике металлов (). В стационарном приближении система указанных уравнений будет иметь вид:
(a) rot, (b) div, (c) rot, (d) div. (12)
Видно, что электрическая компонента ЭМ поля в проводнике при электропроводности потенциальна (12a), в объеме проводник локально электронейтрален (12b), а наличие тока порождает вихревую магнитную компоненту поля (12c).
Однако энергетически уравнения Максвелла способны описать лишь диссипативную составляющую физически сложного процесса электрической проводимости среды с помощью закона сохранения ЭМ энергии:
- div. (13)
Важно отметить, что перенос в пространстве потока ЭМ энергии принципиально реализуется посредством обеих компонент ЭМ поля в виде потокового вектора Пойнтинга . Этот поток, поступая извне в данную точку проводника (левая часть соотношения (13)), обеспечивает в нем электрический ток, что сопровождается выделением тепла, определяемого законом Джоуля-Ленца (правая часть (13)). Наиболее последовательно данный вопрос исследован (вплоть до построения картины “силовых” линий вектора Пойнтинга у поверхности проводника с током) в пособии по электродинамике Зоммерфельда [14].
Несмотря на наличие в проводнике с током электрической и магнитной компонент ЭМ поля, соответственно, электрической и магнитной энергий, из уравнений системы (12) не следуют для них соотношения баланса, аналогичные соотношению (13). Согласно уравнениям (12), такие энергетические потоки в принципе невозможны ввиду отсутствия в них вторых компонент электрического или магнитного полей. Поэтому в развитие представлений о взаимодействии металлов с ЭМ полем вместо стандартного описания электрического поля с помощью скалярного потенциала - grad , введем понятие поля электрического вектор-потенциала проводника с током посредством соотношения rot. Такая альтернатива возможна, поскольку при электропроводности однородная проводящая среда остается по существу локально электронейтральной [15], а потому при ее электрической поляризации под действием тока div.
Здесь имеется полная математическая аналогия с полем магнитного векторного потенциала , когда из div следует представление вектора магнитной индукции в виде rot. Обсуждению свойств поля вектора посвящена работа [12]. Отметим только, что если магнитный вектор-потенциал считается вполне наблюдаемой физической величиной (эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейснера и др.), то электрический вектор-потенциал до настоящего времени как физическая реальность не рассматривался, а ему отводилась лишь роль формальной математической функции.
В применении к проводнику с током соотношение rot представим в интегральной форме:
, (14)
где циркуляция поля вектора электрического потенциала по замкнутому контуру С равна потоку поля вектора электрического смещения через поверхность SC , опирающуюся на этот контур. Согласно закону сохранения электрического заряда, этот поток через замкнутую поверхность () для постоянного тока равен нулю.
На основе (14) можно получить конкретные формулы связи поля вектора с полями векторов и , однородно распределенными внутри цилиндрического проводника радиуса R и ориентированными вдоль его оси симметрии:
при r < R, (15)
при r >R.
Таким образом, поле электрического вектор-потенциала существует как в самом проводнике с током, так и вовне, оно непрерывно на его поверхности, при этом вектор всегда ортогонален плоскости, в которой лежат вектора и . Здесь интересно и физически перспективно представлять себе проводник с током в виде “электрического соленоида”, поскольку структуры полей электрической индукции и вектор-потенциала топологически тождественны аналогичным структурам полей магнитной индукции и вектор-потенциала магнитного соленоида [12].
Однако представления о вектор-потенциале будут физически содержательны по-настоящему только тогда, когда указан, хотя бы в принципе, метод его наблюдения, а лучше - конкретный способ измерения параметров этого векторного поля. В рассматриваемом случае это возможно ввиду математической тождественности соотношений rot и rot, связанных выражением . А потому в асимптотике частот “силовые” линии поля электрического вектор-потенциала проводника с током топологически полностью соответствуют распределению напряженности магнитного поля , созданного этим током в процессе электропроводности, а величины этих полей во всех точках пространства прямо пропорциональны между собой:
.
Согласно [14], порядок величины постоянной времени релаксации электрического заряда в металлах 10-6 с, а конкретно для меди из эксперимента [16] - 3,6·10-6 с. Поскольку измерение характеристик магнитного поля не представляет серьезной технической проблемы, следовательно, поле электрического векторного потенциала проводника с током является реально измеряемой физической величиной.
Для иллюстрации реальности и физической значимости поля электрического вектор-потенциала введем, аналогично вектору плотности потока ЭМ энергии Пойнтинга , потоковый вектор , который для цилиндрического проводника с током запишется в конкретном виде:
. (15)
Здесь – объемная плотность электрической энергии. Следовательно, этот вектор определяет электрическую энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности проводника. При этом из уравнений системы (5) имеем для процессов электростатики модификацию уравнений электрического поля с компонентами напряженности и векторного потенциала:
(a) rot, (b) div, (c) rot, (d) div. (17)
Видно, что поток чисто электрической энергии в пространстве действительно существует, и он осуществляется, как и должно быть, двумя компонентами электрического поля посредством потокового вектора . При этом энергетика процесса электрической поляризации проводника под действием электрического тока запишется соотношением баланса:
-div. (18)
Для процессов магнитостатики постоянного тока из уравнений системы (6) с учетом (3с) получаем систему уравнений магнитного поля с соответствующими компонентами напряженности и векторного потенциала:
(a) rot, (b) div, (c) rot, (d) div. (19)
Здесь перенос чисто магнитной энергии в пространстве осуществляется двумя компонентами магнитного поля в виде потокового вектора , и энергетика процесса магнитной поляризации проводника под действием электрического тока определится уравнением баланса:
- div. (20)
Соответственно, уравнения системы (4) модифицируются в систему уравнений статического поля ЭМ векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами:
(a) rot, (b) div, (c) rot , (d) div.
(21)
Отсюда следует соотношение баланса, описывающее передачу проводнику момента ЭМ импульса посредством потокового вектора :
- div. (22)
Кстати, из уравнений системы (19) получим конкретные формулы для компонент магнитного поля цилиндрического проводника с постоянным электрическим током при r ≤ R
и ,
а, следовательно, явный вид аналитических выражений поля потоковых векторов внутри и на поверхности проводника
и . (23)
Таким образом, процесс электрической проводимости имеет полевое континуальное воплощение, что является принципиальным дополнением и расширением узких рамок формализма локальных механистических представлений о данном явлении. Как следствие это позволило “увидеть” потоки электрической и магнитной энергии, момента ЭМ импульса, которые наряду с энергетическим потоком компенсации джоулевых потерь реализуют процесс стационарной электропроводности в нормальном (несверхпроводящем) металле.
Заключение
Как видим, в отношении полноты охвата явлений электромагнетизма системы электродинамических уравнений (4 - 6) вместе с системой уравнений Максвелла (1) (для статических процессов – это системы (17), (19), (21) и (12)) составляют необходимое и равноправное единство, в котором каждая из систем вполне автономна и описывает строго определенные явления. Отличительная особенность уравнений предлагаемых систем в сравнении с традиционной системой уравнений ЭМ поля состоит в том, что именно они, используя представления о поле ЭМ векторного потенциала, способны последовательно описать реальные электродинамические процессы нетепловой природы: электрическую и магнитную поляризацию среды, передачу ей момента ЭМ импульса.
В общем виде и на конкретном примере аргументированно доказано, что в классической электродинамике, наряду с ЭМ полем с векторными компонентами и , следует рассматривать и другие реально существующие поля: электрическое поле с компонентами и , магнитное поле с компонентами и и поле ЭМ векторного потенциала с компонентами и . Наличие у электродинамического поля двух векторных взаимно ортогональных компонент – это объективный способ существования этого поля, принципиальная возможность его распространения в пространстве в виде потока соответствующей физической величины.
Рассмотренные физические аспекты теории поля ЭМ векторного потенциала, в том числе, установление его физического смысла, безусловно являются серьезным прогрессом в развитии основ электромагнетизма, а представленные результаты служат введением в новые неисследованные области учения об электричестве в рамках электродинамики сплошной среды и ее приложений. При этом концептуально открываются широкие возможности всесторонних исследований нетеплового действия электродинамических полей в материальных средах, в частности, продолжения на новом уровне изучения влияния этих полей на физико-механические свойства сред, которое уже нашло успешное прикладное применение [3, 4] в технологиях обработки разного рода материалов.
Список литературы
1. Wertheim G. // Ann. Phys. und Chem. 1848. Bd. 11/11. S. 1-114.
2. Троицкий О.А. // Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 10. С. 18-22.
3. Спицын В.И., Троицкий О.А. Электропластическая деформация металлов. М.: Наука, 1985.
4. Троицкий О.А., Баранов Ю.В., Авраамов Ю.С., Шляпин А.Д. Физические основы и технологии обработки современных материалов. В 2-х томах. ”Институт компьютерных исследований”, 2004.
5. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. № 1. С. 28-37.
6. Сидоренков В.В. // Труды XIX Международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». М.: МГУ, 2004. С. 740-742. // Материалы II Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем». Ч. 2. Воронеж: ВГТУ, 2005. С. 35-40. // Труды XX Международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». М.: МГУ, 2006. С. 123-125. // Материалы VII Международной конференции «Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов». Воронеж: ВГТУ, 2007. С. 93-104. // Материалы IX Международной конференции «Физика в системе современного образования». Санкт-Петербург: РГПУ, 2007. Т. 1. Секция “Профессиональное физическое образование”. С. 127-129.
7. Дюдкин Д.А., Комаров А.А. Электродинамическая индукция. Новая концепция геомагнетизма / Препринт НАНУ, ДонФТИ-01-01, 2001.
8. Сидоренков В.В., Толмачев В.В., Федотова С.В. // Известия РАН. Сер. Физическая. 2001. Т. 65. № 12. C. 1776-1782.
9. Соколов И.В. // УФН. 1991. Т. 161. № 10. С. 175-190.
10. Чирков А.Г., Агеев А.Н. // ФТТ. 2002. Т. 44. Вып. 1. С. 3-5; 2007. Т. 49. Вып. 7. С. 1217-1221.
11. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. В 2-х томах. М.: Наука, 1989.
12. Антонов Л.И., Миронова Г.А, Лукашёва Е.В., Чистякова Н.И. Векторный магнитный потенциал в курсе общей физики / Препринт № 11. М.: МГУ, 1998.
13. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. № 2. С. 35-46.
14. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: ИЛ, 1958.
15. Сидоренков В.В. // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. № 6. C. 746-749.
16. Корнев Ю.В., Сидоренков В.В., Тимченко С.Л. // Доклады РАН. 2001. Т. 380, № 4. С. 472-475.