1. Определение неопред
.
интеграла
.
Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.
2.
Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии
.
Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)
4. Выр-ие (∫
f
(
x
)
dx
)
.
Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx
5. Выр. ∫
dF
(
x
)
Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C.
Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулойF(x)+C, С=const.
Док-во: F
(
x
)+
C
– первообр, тогда (
F
(
x
)+
C
)’=
F
’(
x
)+
C
’=
F
’(
x
)=
f
(
x
)
Ф(х) – -тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С
6. Если
k
-
const
, ненулевое число, то ∫
kf
(
x
)
dx
=
k
∫
f
(
x
)
dx
–k
можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). -k∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC 7. Если ∫
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
C
, то и ∫
f
(
u
)
du
=
F
(
u
)+
C
,
u
=φ(
x
)
– произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f’(x)dxy=f(u), u=φ(x)– непрерыв, диф-я dy=f’(x)dudF(u)=F’(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C
8. Выражение
d
(∫
f
(
x
)
dx
)=
f
(
x
)
dx
- Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx
9. Интеграл ∫[
f
(
x
)±
g
(
x
)]
dx
= ∫
f
(
x
)
dx
±∫
g
(
x
)
dx
–неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих
ф-ийвотдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразныедляф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx.
10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр
(подстановка).Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= Fx
’[φ(t)]φ’(t) =f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C,Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, =>получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt.
Дарбу
:
Mn
=sup (f(x)); mn
=inf (f(x)), xÎ(xi-1
; xi
) Sρ
=å Mn∆
xi –
верхний; Sρ
=å mn
∆
xi
- нижний; СВ
-
ВА
:
1,
"верхняя сумма >=нижней; 2,
при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3,
измельчение разбиения-добовлене нескольких точек0=<
Sρ
-I<e -для верх и ниж - Лемма.
11. Вывод формулы интегрир по частям.
Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x) -u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. -, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv,u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям:
d
(
uv
)=
udv
+
vdu
;∫
d
(
uv
)=
∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного.
12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4.
Фун-ия вида Pn
(x)=an
xn
+ an
-1
xn
-1
+…+ a1
x1
+a0,
n – натуральное число. ai
, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.
Определение:
Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= Pm
(x)/ Qn
(x), Pm
(x)-мн-eн степени m, Qn
(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида
1)
A/(x-a)
2)
A/(x-a)k
k>=2 целое
3)
(Mx+n)/(x2
+px+q) x2
+px+q=0, D<0
4)
(
Mx
+
n
)/(
x
2
+
px
+
q
)
k
k
>=2
предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.
13. Если х=а – действит корень кратности
k
знамен-ля
Qn
(
x
) прав-ой рацион дроби, т.е.
Qn
(
x
)=(х-а)
k
Õ
n
-
k
(
x
) Тогда
дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: Pm
(x)/Qn
(x)=A/(х-а)k
+Rs(x)/(х-а)k
-1
Õn
-
k
(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: Pm
(x)/Qn
(x)=[A Õn
-
k
(x)+ Pm
(x)-AQn
-
k
(x)]/[(х-а)k
Õn
-
k
(x)]=[ A Õn
-
k
(x)]/ [(х-а)k
Õn
-
k
(x)]+[ Pm
(x)-AQn
-
k
(x)]/ [(х-а)k
Õn
-
k
(x)]=A/(х-а)k
+[Pm
(x)-AQn
-
k
(x)]/ [(х-а)k
Õn
-
k
(x)], для каждого А. х=а – корень ура-я Pm
(x)- A Õn
-
k
(x)=0; Pm
(а)- A Õn
-
k
(а)=0; Pm
(а)≠0 и A Õn
-
k
(а)≠0; A= Pm
(а)/A Õn
-
k
(а); Pm
(x)- A Õn
-
k
(x)=(x-a) Rs(x); Pm
(x)/Qn
(x)= A/(х-а)k
+[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õn
-
k
(x)]= A/(х-а)k
+ Rs(x)/[(х-а)k
-1
Õn
-
k
(x)]; A= Pm
(а)/Õn
-1
(а).
1
4
. Если
Qn
(
x
)= (
x
2
+
px
+
q
)µ
Т
n
-µ
(
x
), где
p
2
-4
q
<0, Т
n
-µ
(
x
) мн-ен не делится на
x
2
+
px
+
q
, то правильную рацион дробь
Pm
(
x
)/
Qn
(
x
) можно представить в виде суммы 2
правильных: Pm
(x)/Qn
(x) =(Mx+N)/ (x2
+px+q)µ
+Фs(x)/[ (x2
+px+q)µ-1
. Тn
-µ
(x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: Pm
(x)/Qn
(x) =[(Mx+N) Тn
-µ
(x)+ Pm
(x)-(Mx+N) Тn
-µ
(x)]//(x2
+px+q)µ
Тn
-µ
(x)]= (Mx+N)/(x2
+px+q)µ
+ [Pm
(x)-(Mx +N) Тn
-µ
(x)]/[ (x2
+px+q)µ
Тn
-µ
(x)] для люб µ и N. x2
+px+q=0, D<0, x12
=α±iβ, µ и N: Pm
(α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*Tn
-µ
(α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ Pm
(α+iβ)] /[ Tn
-µ
(α+iβ)]=k
+
il
.
Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b) µb=L=> m=L/bPm
(x)/Qn
(x)=(Mx+N)/(x2
+px+q)µ
+Ф
s
(
x
)/[ (
x
2
+
px
+
q
)µ-1
Т
n
-µ
(
x
)]
конечному пределу при ранге разбиения - 0.
1
5
. Разложение рацион дроби на простейшие.
Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)r
(x-b)s
…(x2
+2px+q)t
(x2
+2ux+v)z
…, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)2
+…. An/(x-a)n
+…. (M1x+N1) / (x2
+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x2
+2px+q)2
+…+(Mkx+Nk)/(x2
+2px+q)k
+, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа
1
6
. Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4.
Фун-ия вида Pn
(x)=an
xn
+ an
-1
xn
-1
++ a1
x1
+a0,
n– натуральное число. ai
, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.
Определение:
Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов:f(x)= Pm
(x)/ Qn
(x), Pm
(x)-мн-eн степени m, Qn
(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида
<
A/(x-a) 2)
A/(x-a)k
k>=2 целое
3)
(Mx+n)/(x2
+px+q) x2
+px+q=0, D<0
4)
(Mx+n)/(x2
+px+q)k
k>=2
17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.
1)
∫R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена)sinx=2t/(1+t2
) cosx=(1-t2
)/ /(1+t2
)dx=2/(1+t2
)dt;∫R(2t/(1+t2
), (1-t2
)/ /(1+t2
)) 2/(1+t2
)dt=∫Ř(t)dt
2)
∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt
3)
∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt
4)
∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t2
)|= ∫R(t)dt/(1+t2
)5)
R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)
∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t2
)| =∫Ř(t)dt
6)
∫sin m
x cos n
xdx
a)m=2k+1 ∫sin 2k
x cos n
x sinxdx=∫(1-cos 2
x)k
cos n
x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t 2
)k
t n
dt
b)n=2k+1 ∫sin m
x cos 2k
x cosxdx= ∫sin m
x (1-sin 2
x)k
dsinx
7)
∫sin 2p
x cos 2a
xdx sin2
x=(1-cos2x)/2
cos2
x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x
8)
m=-µ n=-ν замена t=tgx
1/ sin2
x=1+ ctg2
x 1/ cos2
x=1+tg2
x
9)
∫tgm
xdx; ∫ctgm
xdx, m-целое >0ое tg2
x=1/ cos2
x-1
сtg2
x=1/ sin2
x-1
10)
∫sinmxcosnxdx ∫sinmxsinnxdx
∫cosmxcosnxdxsinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)
sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)
Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий
Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения - 0.
ax2
+bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b2
)/(4a2
) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=tk
=>
ax+b= cx tk
+ dtk
=>x=…; dx=(…)dt
Заменапеременной: ∫f(x)dx=|x=φ(t); t=g(x); dx= φ’(t)dt|=∫f(φ(t)) φ’(t)dt
Поднесение по знак дифф-ла:
Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(n)dx=F(n)+C
интегрир по частям:
∫udv=uv-∫vdu
∫xsinxdx=|u=x; du=dx; dv=sinxdx; v= -cosx|=-xcosx-∫-cosxdx= -xcosx+sinx.
Ф-цию вида R(x,m
Ö(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=m
Ö(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm
= (ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm
)/(ctm
-a) –рацион ф-ция от t; dx=(mtm
-1
(ad-bc)dt)/(ctm
-a)²ÞòR(x,m
Ö(ax+b)/ (cx+d))dx=òR((b-dtm
)/ (ctm
-a),t) (mtm
-1
(ad-bc)dt)/(ctm
-a)²= òR1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1); пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖaÞax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рацион функ-ция от t Ч.Т.Д;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st
(f,x1,…,xit)= åI
=1
i
x
f(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a
òb
f(x)dx Если "E>0 $dE
=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE
и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1
i
t
f(xi)Dx-I | <E
При
этом
пишут
I=lim
s
t
|
t
|
®
0
.
{T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj
0-1
,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек $ {xn
j
o
}>0 | limn
®
¥
f(xn
jo
)=¥ Рассмотрим сумму st
=åI
=1
i
t
f(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI
=1
i
t
f(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jolimst
(f,x1,…,x0
n
,..,xit) =lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥m>0 существует n0 | st
(f,x1,…,xjo
(
n
)
,…,xi
t
)>m Отсюда Þ, что интегр сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату.
Предположим, что $I=lim|
t
|
®
0
st
Þ"E>0 $dE
>0 | "t, |t|<dE
и любой выбор точек xi вып-ся нер-во |dt
-I|<EÞ|dt
|=|dt
-I+I|<|dt
-I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE
можно выбрать точки x1,..,xi
t
такие, что |st
|>MÞф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.Ф-ла Ньтона-Лейбница a
òb
f(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|а
b
–(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)=a
òx
f(t)dtтогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $F(x)=Ф(х)+С; a
òx
f(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то a
òа
f(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þa
òx
f(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.
18.Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов.Признак Вейерштрасса.Ф-циональную посл-сть {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Îe >0, сущ номер N, такой, что для " т х ÎE и "n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn-f.
наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает:Sn(x) -f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся – есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где a >=0 сх-ся и для "xÎE и "n = 1,2… если выполняется нер-во un(x)|<=an(8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.
Док-ва:
Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.
Зафиксируем произвольное e >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, "n >N и вып. нерво . Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = . Это означает, что Sn(x) -S(x) что означает равномерную сх-сть ряда..
19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a0
+a1
x+a2
x2
+… + an
xn
= (1) xÎR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a0
+a1
(x-x0)+a2
(x-x0)2
… + an
(x-x0)n
= (2)Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа anÎR, наз коэффициентами ряда(1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 ¹ 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|
20.
Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сх-ся, а для " х таких. что |x|>R ряд расх-ся интервалом сх-ти.Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сх-ся абс-но. Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сх-ти: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R, то ряд сх-ся в т. x абс-но иначе расх-ся. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сх-ти решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сх-ти может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R=0.Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. Т2 Если для степенного ряда (1) сущ-ет предел (конечный или бесконечный): , то радиус сх-ти будет равен этому пределу. Если сущ-ет предел степенного ряда, то радиус сх-ти равен 1/пределот ряда Если степенной ряд (1) имеет радиус сх-ти R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r,r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.
На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.
Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда, то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.
21. Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть(1) сх-ся при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1). Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.
Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0 При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:
(6’) и называется ряд Маклорена.
Ряд Тейлора может:
1 Расх-ся всюду, кроме х=х0
2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.
3 Сх-ся к исходной ф-ции f(x)
Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.
Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех xÎ (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:
где остаток rn
(x) можно записать:
(8)
(9)
Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.
Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.
Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е "xÎU(x0) |f(
n
)
(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.
22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).
1 Разложение ф-ции ех
ряд Маклорена. радиус сх-ти: R=¥ следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сх-ся на всей числовой оси, сх-ся на всей числовой оси, f(x) = (1+x)a
наз. биномиальный ряд с показ-ем a.
Разложение ф-ции ln(1+x)
сх-ся при –1<x<=1
5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена
сх-ся при -1<=x<=1.