Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей
n
.
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x
=
a
-
b
,
y
=2
ab
,
z
=
a
+
b
.
Другие формулы: x
= + b
,
y
= + a
,
z
= + a
+ b
(1).
В (1) a
и b
любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a
– чётное, b
–
нечётное: a
=2
c
,
b
=
d
,
откуда =2
cd
.
После подстановки значений a
и b
в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d
(2),
где c
и d
любые целые положительные числа; c
,d
и их суммы взаимно просты;
X
,
Y
,
Z
– взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c
и d
, то определены и целы все три числа X
,
Y
,
Z
.
Предположим, что уравнение Ферма x
+ y
= z
имеет тройку целых положительных решений x
,
y
,
z при нечётном целом положительном значении показателя n
,
n
>2
. Запишем это уравнение следующим образом:
(
x
)
+ (
y
)
= (
z
)
(4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:
x
=
X
;
y
=
Y
;
z
=
Z
;
где X
,
Y
,
Z
из (2) (5).
Чтобы числа x
,
y
,
z были целыми, из всех трёх чисел X
,
Y
,
Z должны извлекаться целочисленные корни степени n
(n
– нечётное положительное целое число):
x
== (
);
y
== (
)
;
z
=.
<
Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и
( n
– нечётное ):
= =
и
= =
.
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n
:
d
=
g
; 2
c
=
h
,
следовательно, =
;
= .
Так как x
,
– целые, x
– по условию, а – из-за нечётн. n
, то g
+
h
=
k
,
где k
– целое.
Тройка решений g
,
h
,
k
удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x
первой тройки решений, потому что наибольшее число k
из g
,
h
,
k
меньше , так как =g
,
а <
x
,
так как x
=(
)
. Число k
заведомо меньше числа z
.
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g
,
h
,
k
,
начиная с (4):
(
g
)
+ (
h
)
= (
k
)
;
g
==(
);
h
==(
);
k
=.
= =
и = =
.
d
=
p
; 2
c
=
q
,
следовательно, =
; = .
p
+
q
=
r
,
где r
– целое число. Все три числа p
,
q
,
r
меньше числа
из второй тройки решений и r
<
k
. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до .
При данных конечных целых положительных числах x
,
y
,
z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n
(
n
>2)
не существует.
Для чётных n
=2
m
не кратных 4
: (x
)+(y
)=(z
), m
– нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m
, то их нет и для 2
m
(это показал Эйлер). Для n
=4
и n
=4
k
(
k
=1,2,3…)
уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов