ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини
Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: w1
– випадання "решки" та w2
– випадання герба. Введемо до розгляду функцію x= f(w), що визначається за формулами: f(w1
)=0, f(w2
)=1. Це – числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :
Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи та . Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють
і
У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер x,h,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:
Таблиця 1
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:
Таблиця 2
|
|
0
|
1
|
|
|
1/2
|
1/2
|
Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення і , а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції складається тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горизонтальної осі функція взагалі принципово не визначена.
Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією
що називається функцією розподілу випадкової величини .
Рисунок 1
У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах
На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.
Рисунок 2
Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност:
При цьому функція розподілу
графік якої зображено на рис. 3, має вигляд
Рисунок 3
Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.
Рисунок 4
За випадкову величину, що позначимо як , візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною
,
,
При цьому закон розподілу випадкової величини має вигляд табл. 3:
Таблиця 3
|
|
1 |
5 |
10 |
|
|
5/9 |
1/3 |
1/9 |
За цим законом розподілу випадкової величини знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).
Рисунок 5
Властивості функції розподілу:
1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x1
<x2
(рис. 6).
Рисунок 6
F(x2
)=P(x<x2
)=P(x<x1
)+P(x1
<x<x2
)>P(x<x1
)=F(x1
); F(x1
)<F(x2
);
2. F(+¥)=1; F(-¥)=0; F(+¥)=P(x<¥)=1;
P(-¥<x<¥)=1; F(-¥)=0;
P(a£x<b)=P(x<b) - P(x<a)=Fx
(b) - Fx
(a).
Якщо функція розподілу в деякій точці x=а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(x=а)=р.
Рисунок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b® a+0.
P(x=а)=.
Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.
2 Дискретна випадкова величина
Випадкова величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.<
Нехай х1
,х2
,…,хn
– можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.
Випадкові події [x=x1
], [x=x2
], …[x=xn
] утворять повну систему елементарних подій. При цьому
,
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на площині (xi
, pi
); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):
Рисунок 8
Цьому закону розподілу є відповідною функція розподілу
Fx
(x)=P(x<x)=
або
де
Її графік наведено на рис. 9
Рисунок 9
Як видно з рис. 9, функція розподілу дискретної випадкової величини є кусково неперервною. У точці хi
вона зростає на величину . При цьому
.
3 Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин
Біноміальний розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:
Р(А)=р; .
Як випадкову величину, яку позначимо , розглянемо кількість появ події А у n випробуваннях. Не важко перевірити, що ймовірність появи події визначається формулою Бернуллі у вигляді
; (1)
де – кількість сполучень з елементів по (1).
Відповідний цїй формулі закон розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)n
(табл. 4).
Таблиця 4
| xn
|
0 |
1 |
… |
k |
… |
n
|
| pn
|
qn
|
npqn-1
|
… |
|
… |
pn
|
Розподіл Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість випробувань і наслідків дуже велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у зв’язку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку було отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.
Нехай кількість випробувань необмежено зростає, але так, щоб її добуток на ймовірність появи події A в кожному випробуванні, тобто , залишався скінченою величиною порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення ймовірності , отже розглядаються дуже рідкі події та дуже довгі серії випробувань. При формалізації відзначених умов у формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі
або остаточно отримати формулу Пуассона для ймовірності появи разів дуже рідкої події A у практично нескінченних випробуваннях
Розподіл випадкової величина за цією формулою називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число l називається параметром розподілу. Цей закон можна подати у вигляді:
Таблиця 5
| x |
0 |
1 |
… |
k |
… |
| p
|
e-
|
le-
|
… |
|
… |
Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається l відмовлень.
При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:
1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).
2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.
Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:
р(А)=l Dt+o(Dt), Dt®0.
4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(Dt), Dt®0.
Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних частин .
Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування
При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т
Геометричний закон розподілу. Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.
Як випадкову величину розглядатимемо кількість проведених випробувань, необхідних для першої появи події А. Очевидно, що закон розподілу цієї випадкової величини можна подати таблицею:
Таблиця 6
| x |
1 |
2 |
3 |
… |
k
|
| P |
P |
qp |
q2
|
… |
qk-1
|