Министерство образования Российской Федерации.
Хабаровский государственный Технический Университет.
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
Лабораторная работа №4
по дисциплине «Вычислительные методы линейной алгебры».
Интерполяция функций.
Вариант 4
Выполнил: ст. гр. ПМ 11 Крамарев Д. В.
Проверил: д.ф.-м.н., проф. Чехонин К.А.
Хабаровск 2004
Задание.
1) Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25.
| xi
|
1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 |
| yi
|
0.5 | 2.2 | 2 | 1.8 | 0.5 | 2.25 |
2) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.
| xi
|
0 | 0.25 | 1.25 | 2.125 | 3.25 |
| yi
|
5.0 | 4.6 | 5.7 | 5.017 | 4.333 |
3)Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.
| xi
|
7 | 9 | 13 |
| yi
|
2 | -2 | 3 |
Постановка задачи интерполяция.
Пусть известные значения функции образуют следующую таблицу:
| x0
|
x1
|
x2
|
... | Xn-1
|
xn
|
| y0
|
y1
|
y2
|
... | yn-1
|
yn
|
При этом требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей отрезку [x0
..xn
] но не совпадающей ни с одним значением xi
.Часто при этом не известно аналитическое выражение функции f(x), или оно не пригодно для вычислений.
В этих случаях используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в точках x0
, x1
, x2
,... xn
. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x0
,x1
,x2
,...xn
- узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома n степени:
Pn
(x)=a0
xn
+a1
xn-1
+a2
xn-2
+...+an-1
x+an
Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен может быть представлен в различных видах. Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Формула Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции, что расстояние между соседними узлами не постоянная величина.
Построим интерполяционный полином Ln
(x) степени не больше n, и для которого выполняются условия Ln
(xi
)=yi
. Запишем его в виде суммы:
Ln
(x)=l0
(x)+ l1
(x)+ l2
(x)+...+ ln
(x),(1)
где lk
(
xi
)=
yi
, если i=k, и lk
(
xi
)=
0, если i≠k;
Тогда многочлен lk
(
x)
имеет следующий вид:
lk
(x)=
(2)
Подставим (2) в (1) и перепишем Ln
(
x)
в виде:
Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем n+1 раз, то погрешность интерполяции оценивается следующим образом:
где0<θ
<1 (3)
Интерполяционная формула Ньютона.
Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность xi
+1
-xi
=h
постоянна для всех значений x=0..n-1.
Конечная разность k-го порядка:
Δyi
=yi
+1
-yi
Δ2
yi
= Δyi
+1
- Δyi
=yi
+2
-2yi
+1
+yi
………………………………
Δk
yi
=yi
+
k
-kyi
+1-
k
+k(k-1)/2!*yi
+
k-2
+...+(-1)k
yi
Будем искать интерполяционный многочлен в виде:
Pn(x)=a0
+a1
(x-x0
)+a2
(x-x0
)(x-x1
)+...+an
(x-x0
)(x-x1
)...(x-xn-1
)
Найдем значения коэффициентов a0
, a1
, a2
, ...,an
:
Полагая x=x0
, находим a0
=P(x0
)=y0
;
Далее подставляя значения x1
, x2
, ...,xn
получаем:
a1
=Δy0
/h
a2
=Δ2
y0
/2!h2
a3
=Δ3
y0
/3!h3
....................
an
=Δn
y0
/n!hn
Такимобразом: Pn(x)=y0
+ Δy0
/h*(x-x0
)+ Δ2
y0
/2!h2
*(x-x0
)(x-x1
)+...+ Δn
y0
/n!hn
*(x-x0
)(x-x1
)...(x-xn
-1
) (1)
Практически формула (1) применяется в несколько ином виде:
Возьмем: t=(x-x0
)/h, тогда x=x0
+th и формула (1) переписывается как:
Pn
(x)=y0
+t
Δ
y0
+
t(t-1)
/
2!
Δ
2
y0
+...+
t(t-1)...(t-n+1)
/
n!
Δ
n
y0
(2)
Формула (2) называется интерполяционнойформулой Ньютона.
Погрешность метода Ньютона оценивается следующим образом:
(3)
Интерполяция сплайнами.
При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для проведения вычислений.
Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с построением в каждой части своего интерполяционного полинома. Такой метод называется интерполяцией сплайнами. Наиболее распространенным является построение на каждом отрезке [xi
, xi
+1
], i=0..n-1 кубической функции. При этом сплайн – кусочная функция, на каждом отрезке заданная кубической функцией, является кусочно-непрерывной, вместе со своими первой и второй производной.
Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [xi
, xi
+1
] в виде:
, где ai
,bi
,ci
,di
– неизвестные.
Из того что Si
(xi
)=yi
получим:
В силу непрерывности потребуем совпадения значений в узлах, т.е.:
,i=0..n-1; (1)
Также потребуем совпадения значений первой и второй производной:
,i=0..n-2; (2)
,i=0..n-2; (3)
Из (1) получим n линейных уравнений с 3n неизвестными
,i=0..n-1; (1*)
Из (2) и (3) получим 2(n-1) линейных уравнений с теми же неизвестными:
align:left;">,i=0..n-1; (2*)
,i=1..n-1; (3*)
Недостающие два уравнения определим следующим образом. Предположим, что в точках х0
и хn
производная равна нулю и получим еще два уравнения. Получим систему из 3*n линейных уравнений с 3*n неизвестными. Решим ее любым из методов и построим интерполяционную функцию, такую что на отрезке [xi
, xi
+1
] она равна Si
.
Метод Лагранжа
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
type tip=array of real;
var x,y:tip;
i,j,n:byte;
p,s,xx:real;
begin
n:=edt.Count;
setlength(x,n);
setlength(y,n);
for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
xx:=strtofloat(edt.Text);
edt.Lines.Delete(0);
s:=0;
for i:=0 to n-1 do
begin
p:=1;
for j:=0 to n-1 do if i<>j then p:=p*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
p:=p*y[i];
s:=s+p;
end;
edt.writer('',1);
edt.writer('',s,1);
end;
Сплайн – интерполяция (
программа составляет систему линейных уравнений, решая которую находим коэффициенты кубических сплайнов).
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var b,c,d,x,y:array of real;
urm:array of array of real;
i,j,k,n :byte;
begin
n:=edt.Count;
setlength(x,n);setlength(y,n);
for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
setlength(b,n-1);setlength(c,n-1);setlength(d,n-1);
setlength(urm,3*(n-1),3*(n-1)+1);
for i:=0 to 3*(n-1)-1 do
for j:=0 to 3*(n-1) do urm[i,j]:=0;
for i:=0 to n-1 do edt.writer(' ',y[i],0);
for i:=0 to n-2 do
begin
urm[i,3*i+0]:=x[i+1]-x[i];
urm[i,3*i+1]:=(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);
urm[i,3*i+2]:=(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);
urm[i,3*(n-1)]:=y[i+1]-y[i];
end;
for i:=0 to n-3 do
begin
urm[i+n-1,3*i+0]:=1;
urm[i+n-1,3*i+1]:=2*(x[i+1]-x[i]);
urm[i+n-1,3*i+2]:=3*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);
urm[i+n-1,3*i+3]:=-1;
end;
for i:=0 to n-3 do
begin
urm[i+2*n-3,3*i+1]:=1;
urm[i+2*n-3,3*i+2]:=3*(x[i+1]-x[i]);
urm[i+2*n-3,3*i+4]:=-1;
end;
urm[3*n-5,0]:=1; urm[3*n-5,3*(n-1)]:=0;
urm[3*n-4,3*(n-1)-3]:=1;urm[i+2*n-3,3*(n-1)-2]:=2*(y[n-1]-y[n-2])]
urm[3*n-4,3*(n-1)-1]:=3*(y[n-1]-y[n-2]) *(y[n-1]-y[n-2]);
urm[i+2*n-3,3*(n-1)]:=0
for i:=0 to 3*(n-1)-1 do
begin
edt.writer('',1);
for j:=0 to 3*(n-1) do edt.writer(' ',urm[i,j],0);
end;
end;
Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.
| xi
|
7 | 9 | 13 |
| yi
|
2 | -2 | 3 |
Решение.
Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [xi
, xi
+1
], i=0..2 в виде:
, где ai
,bi
,ci
,di
– неизвестные.
Из того что Si
(xi
)=yi
получим:
В соответствии с теоретическим положениями изложенными выше, составим систему линейных уравнений, матрица которой будет иметь вид:
При этом мы потребовали равенства производной нулю.
Решая систему уравнений получим вектор решений [b1
,c1
,d1
,b2
,c2
,d2
]:
Подставляя в уравнение значения b1
,c1
,d1
, получим на отрезке [7..9]:
Если выражение упростить то:
Аналогично подставляя в уравнение значения b2
,c2
,d2
, получим на отрезке [9..13]:
или
График имеет вид:
Метод
Ньютона
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
type tip=array of real;
var x,y:tip;
i,j,n:byte;
p,s,xx,t,h:real;
kp:array of array of real;
begin
n:=edt.Count;
setlength(x,n);
setlength(y,n);
for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
xx:=strtofloat(edt.Text);
edt.Lines.Delete(0);
setlength(kp,n,n);
for i:=0 to n-1 do for j:=0 to n-1 do kp[i,j]:=0;
for i:=0 to n-1 do kp[0,i]:=y[i];
for i:= 1 to n-1 do
for j:=0 to n-i-1 do
kp[i,j]:=kp[i-1,j+1]-kp[i-1,j];
for i:= 0 to n-1 do
begin
for j:=0 to n-1 do edt.writer(' ',kp[i,j],0);
edt.writer('',1);
end;
edt.writer('',1);
h:=0.5;
t:=(xx-x[0])/h;
s:=y[0];
for i:=1 to n-1 do
begin
p:=1;
for j:=0 to i-1 do p:=p*(t-j)/(j+1);
s:=s+p*kp[i,0];
end;
edt.writer('',s,1);;
end;
Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х=1.25.
| xi
|
1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 |
| yi
|
0.5 | 2.2 | 2 | 1.8 | 0.5 | 2.25 |
Решение.
Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:
Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:
Pn
(
x
)=
y
0
+
t
Δ
y
0
+
t(
t-1)
/2!
Δ
2
y0
+...+
t(t-1)...(t-n+1)
/
n!
Δ
n
y0
Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив который получим:
P5
(x)=2.2x5
-24x4
+101.783x3
-20.2x2
+211.417x-80.7
Вычислим значение функции в точке x=1.25; P(1.25)=2.0488;
График функции имеет вид:
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.
| xi
|
0 | 0.25 | 1.25 | 2.125 | 3.25 |
| yi
|
5.0 | 4.6 | 5.7 | 5.017 | 4.333 |
Решение.
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа L4
(
x)
, подставив значения из таблицы в формулу:
Напишем программу и вычислим значение многочлена в точке х=1.2:
L4
(1.2)=5.657;
Полученный многочлен имеет четвертую степень. Упростим его и получим:
Построим график полученного полинома: