Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Введение. 3
Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Библиографический список. 24
Введение
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава
I. Основные понятия и теоремы
Определение.
Метрическим пространством
называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых и из и удовлетворяющей трем условиям:
1) (аксиома тождества);
2) (аксиома симметрии);
3) (аксиома треугольника).
Определение.
Пусть – некоторое множество. Топологией в
называется любая система его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:
1. Само множество и пустое множество принадлежат .
2. Объединение любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из принадлежат .
Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим
пространством.
Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.
Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми
множествами топологического пространства .
Определение.
Совокупность
открытых множеств топологического пространства называется базой
топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .
Теорема 1.
Всякая база в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:
1)
любая точка содержится хотя бы в одном ;
2)
если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что .
Определение.
Открытым шаром или окрестностью точки радиуса
в метрическом пространстве называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом – центр шара, – радиус шара.
Утверждение 1.
Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в -окрестность точки .
Доказательство.
Выберем в качестве :.
Достаточно доказать для произвольного импликацию . Действительно, если , то
Получаем, что , что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство.
Проверим свойства базы (теорема 1).
· Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется для любого .
· Проверим второе свойство.
Пусть , и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что Теорема доказана.
Определение.
Топологическое пространство метризуемо
, если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .
Аксиомы отделимости
Аксиома
. Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.
Аксиома
. Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.
Предложение.
является - пространством тогда и только тогда, когда для любого множество замкнуто.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть . Так как является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .
Рассмотрим
Докажем, что . Применим метод двойного включения:
· Очевидно, что по построению множества .
· .
Пусть отсюда для любого отличного от существует окрестность , значит , тогда .
Множество - открыто, как объединение открытых множеств.
Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.
Достаточность.
Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
Аксиома
( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома .
Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Определение.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам () называются -пространствами
(-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами
).
Определение.
Пространство называется нормальным
или -пространством
, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.
Определение.
Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки
, если для любой окрестности точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .
Определение.
Если точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности
. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.
Определение.
Две метрики и на множестве называются эквивалентными
, если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример.
На плоскости для точек и определим расстояние тремя различными способами:
1. ,
2. ,
3. .
· Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1)
2) так как и , то вторая аксиома очевидна:
3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство:
Возведем это неравенство в квадрат:
.
Так как и (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.
2. 1)
2) так как и , то вторая аксиома очевидна: .
3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: .
Тогда и .
3. 1)
2) так как и , то вторая аксиома очевидна:
.
3) рассмотрим точки ,,.
Неравенство: - очевидно.
· Введенные метрики и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.
Пусть метрика порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства.
Покажем, что .
Рассмотрим множество, открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .
Аналогично доказывается, что . А тогда и .
Глава
II. Свойства метризуемых пространств
Свойство 1.
Метризуемое пространство хаусдорфово.
Доказательство.
Пусть . Возьмем . Докажем, что .
Предположим, что , тогда существует , т.е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .
Следствие.
Метризуемое пространство является - пространством.
Определение.
Расстоянием от точки до множества в метрическом пространстве называется .
Утверждение 2.
Пусть множество фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке расстояние , непрерывна на пространстве .
Доказательство.
Воспользуемся определением непрерывности: функция называется непрерывной в точке , если .
Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .
Для произвольного возьмем . Тогда из неравенства следует . Непрерывность доказана.
Лемма.
– замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого расстояние от до множества положительно.
Доказательство.
Множество замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Свойство 2.
Метризуемое пространство нормально.
Доказательство.
По
-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности.
Так как и множество замкнуто по условию, то для любого по лемме .
Обозначим и для произвольных и .
Множества и открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .
Следовательно, - окрестность множества , - окрестность множества .
Докажем, что .
Предположим, что , то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда .
Аналогично получаем для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .
Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.
Следовательно . Таким образом, является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство 3.
В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
Доказательство.
Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть для некоторых и . По утверждению 1 найдется такое , что .
Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары , образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.
Определение.
Множеством типа
или просто - множеством
пространства называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.
Определение.
Множеством типа
или просто - множеством
пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.
Очевидно, что множества типа и
являются взаимно дополнительными друг для друга.
Определение.
Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа
, называется совершенно нормальным
.
Утверждение 3.
Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .
Свойство 4.
Метризуемое пространство совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть - непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .
Пусть , тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда .
Обратно. Пусть , тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа
.
Определение.
Множество всюду плотно в
, если любое непустое открытое в множество содержит точки из .
Определение.
Топологическое пространство называется сепарабельным
, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение.
Семейство γ открытых в множеств образуют покрытие пространства
, если содержится в объединении множеств этого семейства.
Определение.
Топологическое пространство называется финально компактным
, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.
Свойство 5.
Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
Доказательство.
Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей счетно. Докажем, что - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, . Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого и точку , для которой .
Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного и открытого множества нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.
Пусть - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого (- индексное множество). Для любого существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.
Для каждой точки рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.
Определение.
Диаметром непустого множества
в метрическом пространстве называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается .
.
Если , то множество называют неограниченным.
Определение.
Метрика метрического пространства называется ограниченной
, если .
Свойство 6.
Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
Доказательство.
Пусть метрика порождает топологию топологического пространства . Положим для любых .
Докажем следующее:
1. -метрика на ;
2. метрики и эквивалентны;
3. .
1. Проверим выполнимость аксиом.
1) ;
2);
: Докажем, что .
Известно, что .
· Если и , то и , тогда . Так как , то .
· Если или , то , а , тогда .
2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .
Пусть - открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего выше сказанного следует, что метрики и эквивалентны.
3. Из формулы следует, что для любых . Отсюда .
Определение.
- топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств
называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного их числа.
Свойство 7.
Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство.
Пусть - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика соответственно.
Рассмотрим .
Покажем:
1. является метрикой на и .
2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1) (так как - метрика по условию).
2) , .
Так как (-метрика по условию), то , тогда .
3) Докажем, что .
, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:
, тогда .
Теперь докажем, что .
, где геометрическая прогрессия, а , тогда .
2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число и открытые множества , такие, что .
Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:
.
Для положим и для .
Для каждой точки . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии произведения.
2) Пусть множество открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .
Требуется доказать, что для любой точки найдется такое , что .
Так как множество открыто в топологии произведении, то для некоторого множества , где - открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то для конечного числа индексов, для которых . Пусть - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.
Глава
III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств
1. Дискретное топологическое пространство.
- произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим Для любого множество открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.
2. Двоеточия.
. Рассмотрим топологии на .
1) - простое двоеточие.
2) - связное двоеточие.
3) - слипшееся двоеточие.
- метризуемо, так как топология - дискретная.
, - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.
3. Стрелка
().
В открытыми назовем и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.
4. Окружности Александрова
(пространство ).
Открытые множества в :
первого рода
: интервал на малой окружности плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.
второго рода
: каждая точка на большой окружности открыта.
1. Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда - конечно.
Доказательство.
Очевидно, что любое конечное множество
замкнуто как дополнение открытого. Пусть и - бесконечно. Докажем, что - незамкнуто.
Так как - бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть - точка, для которой является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в
множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что содержит бесконечно много точек множества , т.е. является предельной точкой множества . При этом . Следовательно, - незамкнуто.
2. Множество не совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть дуга . Множество открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно открыто и не является множеством типа . Таким образом множество
неметризуемо.
Библиографический список
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.