Исследование взаимосвязей показателей финансовых рынков

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ:

В таблице представлены среднемесячные данные за 2002 - 2004 гг:

Годы

Месяцы

Курс $

Процентные ставки

Сальдо ТБ

Прирост ЗВР

ИПЦ

Y

X1

X2

X3

Х4

2002

1

30,47272

10,1

3850

284

103,1

2

30,8057

10

3504

-214

101,2

3

31,06427

10,7

4722

452

101,1

4

31,17359

10,7

5390

435

101,2

5

31,25488

11,1

4814

1860

101,7

6

31,40493

11,1

4265

3072

100,5

7

31,51499

12

4883

1352

100,7

8

31,55431

10,3

5863

-285

100,1

9

31,62666

10,5

5603

1033

100,4

10

31,69333

12,4

5151

1292

101,1

11

31,81074

12,8

4644

1148

101,6

12

31,83684

12

5797

1438

101,5

2003

13

31,81617

12,1

5847

-412

102,4

14

31,69898

11,9

5636

1481

101,6

15

31,45329

11,2

6671

3787

101,1

16

31,21179

10,9

5137

2464

101

17

30,90706

10,8

5614

4322

100,8

18

30,46863

11

6261

5035

100,8

19

30,36029

11,1

6087

-452

100,7

20

30,34903

10,6

6948

24

99,6

21

30,59863

9,8

6378

-1702

100,3

22

30,16471

10,4

7010

-679

101

23

29,80797

10,4

6158

2855

101

24

29,4337

11

7192

3241

101,1

2004

25

28,8388

10

6894

8769

101,8

26

28,51467

9,4

6880

7052

101

27

28,52926

9,2

7412

2328

100,8

28

28,68563

9

8742

-2920

101

29

28,98922

9,2

7956

-734

100,7

30

29,02972

8,8

8762

2948

100,8

31

29,08193

9

8950

2614

100,9

32

29,21929

9,2

10253

384

100,4

33

29,22208

9,5

9767

92

100,4

34

29,0703

9,5

10223

6380

101,1

35

28,59119

9,6

10393

12256

101,1

36

27,90403

9,6

10467

10096

101,1

Задание:

1.Проанализировать связи между данными пятью показателями по следующей схеме:

а) оценить тесноту и напрвление связи для каждой пары величин

б) выделить мультиколлениарные факторы

в) выбрать два ведущих фактора для показателя "Курс доллара"

2. Построить линейную модель регрессии с ведущими факторами, пояснить экономический смысл

ее параметров

3. Оценит качественные характеристики по следующей схеме:

а) проверить статистическую значимость уравнения и его параметров

б) проверить предпосылки МНК, определив математическое ожидание остатков и исследовав их на

гомоскедастичность

в) оценить уровень точности модели на основе средней относительной ошибки

г) оценить какая доля вариации показателя "Курс доллара" учтена в построенной модели и

обусловлена включенными в нее факторами

4.Выполнить прогноз показптеля "Курс доллара" на январь, февраль, март 2005г, определив ошибку

прогнозирования с доверительной вероятностью 95%.

Сравнить полученные результаты с фактическими данными за 2005:

январь - 28,009

февраль - 27,995

март - 27,626

РЕШЕНИЕ:

1. Проанализируем связь между показателями:

а) Оценим тесноту и напрвление связи для каждой пары величин.

Тесноту и направление связи оценим по коэффициенту парной корреляции.

Строим матрицу парных коэффициентов корреляции:

Y

X1

X2

X3

Х4

Y

1

X1

0,829

1

X2

-0,791

-0,656

1

X3

-0,443

-0,163

0,389

1

Х4

0,137

0,277

-0,292

0,120

1

Проанализируем связь между зависимой переменной Y и факторами:

r(Y;X1) =

0,829

- связь очень тесная и прямая, с увеличением фактора X1, зависимая

переменная Y увеличивается.

r(Y;X2) =

-0,791

- связь тесная и обратная, с увеличением фактора X2, зависимая переменная

Y уменьшается.

r(Y;X3) =

-0,443

- связь между зависимой переменной Y и фактором X3 слабая и обратная.

r(Y;X4) =

0,137

- связи между результатом Y и фактором X4 практически нет.

Проанализируем связь между факторами:

r(X1;X2) =

-0,656

- связь между факторами X1 и X2 тесная и обратная.

r(X1;X3) =

-0,163

- связь между факторами X1 и X3 практически отсутствует.

r(X1;X4) =

0,277

- связь между факторами X1 и X4 очень слабая и прямая.

r(X2;X3) =

0,389

- связь между факторами X2 и X3 слабая и прямая.

r(X2;X4) =

-0,292

- связь между факторами X2 и X4 очень слабая и обратная.

r(X3;X4) =

0,120

- связи между факторами X3 и X4 практически нет.

r

tr

Найдем расчетное значение t - критерия Стьюдента:

0,829

8,63

значим

-0,791

-7,55

значим

-0,443

-2,88

значим

t (a=0,05;34) =

2,032

0,137

0,81

не значим

-0,656

-5,07

значим

-0,163

-0,96

не значим

Если tрасч. > tтабл.,то коэффициент парной

0,277

1,68

не значим

корреляции значим.

0,389

2,47

значим

-0,292

-1,78

не значим

0,120

0,70

не значим

в) Выбрать два ведущих фактора для показателя "Курс доллара"

r(Y;X1) =

0,829

r(Y;X2) =

-0,791

Т.к. зависимая переменная Y теснее связана с фактором X1, значит фактор X2 из модели исключаем.

Результаты исследования показали, что в модель следует включить факторы X1 и X3.

Переобозначим фактор X3 как фактор X2, тогда уравнение регрессии имеет вид:

Y (x1,x2) = a0 + a1*x1 + a2*x2 - уравнение множественной регрессии.

Y

X1

X2

Yрасч.

Ex

E^2

(E-Eср)^2

(Et - Et-1)^2

E/Y

(Y-Yср)^2

30,472715

10,1

284

30,14

0,33

0,11

0,104

-

0,011

0,02983

30,8057

10

-214

30,10

0,70

0,50

0,482

0,139

0,023

0,255732

31,0642667

10,7

452

30,66

0,41

0,17

0,157

0,089

0,013

0,584104

31,1735864

10,7

435

30,66

0,51

0,26

0,254

0,012

0,016

0,763153

31,2548842

11,1

1860

30,87

0,38

0,15

0,138

0,017

0,012

0,911804

31,40493

11,1

3072

30,75

0,65

0,43

0,414

0,074

0,021

1,22087

31,5149864

12

1352

31,72

-0,21

0,04

0,048

0,745

0,007

1,476192

31,5543087

10,3

-285

30,38

1,18

1,39

1,366

1,928

0,037

1,57329

31,626655

10,5

1033

30,42

1,20

1,45

1,428

0,001

0,038

1,760013

31,6933261

12,4

1292

32,09

-0,39

0,15

0,163

2,555

0,012

1,941358

31,8107429

12,8

1148

32,46

-0,65

0,42

0,431

0,064

0,020

2,282344

31,83684

12

1438

31,72

0,12

0,01

0,012

0,588

0,004

2,361877

31,816165

12,1

-412

31,99

-0,17

0,03

0,034

0,087

0,005

2,298756

31,6989789

11,9

1481

31,62

0,08

0,01

0,004

0,063

0,002

1,957142

31,45329

11,2

3787

30,77

0,68

0,47

0,454

0,370

0,022

1,330078

31,2117864

10,9

2464

30,63

0,58

0,33

0,322

0,011

0,018

0,831354

30,907055

10,8

4322

30,36

0,55

0,30

0,289

0,001

0,018

0,368516

30,4686263

11

5035

30,47

0,00

0,00

0,000

0,297

0,000

0,028435

30,360287

11,1

-452

31,10

-0,74

0,55

0,568

0,557

0,025

0,003635

30,3490273

10,6

24

30,61

-0,26

0,07

0,074

0,232

0,009

0,002404

30,5986333

9,8

-1702

30,07

0,53

0,28

0,267

0,623

0,017

0,089182

30,164713

10,4

-679

30,50

-0,34

0,12

0,122

0,749

0,011

0,018303

29,807965

10,4

2855

30,15

-0,34

0,12

0,124

0,000

0,011

0,242098

29,4337

11

3241

30,65

-1,21

1,47

1,494

0,756

0,041

0,750476

28,838795

10

8769

29,20

-0,36

0,13

0,140

0,719

0,013

2,13512

28,5146737

9,4

7052

28,84

-0,33

0,11

0,113

0,001

0,011

3,18739

28,5292619

9,2

2328

29,14

-0,61

0,37

0,379

0,078

0,021

3,135513

28,6856318

9

-2920

29,48

-0,80

0,63

0,650

0,036

0,028

2,606185

28,9892167

9,2

-734

29,44

-0,45

0,20

0,214

0,118

0,016

1,718153

29,0297238

8,8

2948

28,72

0,31

0,10

0,092

0,585

0,011

1,613602

29,0819261

9

2614

28,93

0,15

0,02

0,021

0,025

0,005

1,483704

29,2192857

9,2

384

29,33

-0,11

0,01

0,014

0,070

0,004

1,167943

29,2220818

9,5

92

29,63

-0,40

0,171

0,086

0,014

1,161908

29,0703

9,5

6380

29,00

0,07

0,01

0,004

0,228

0,003

1,512162

28,591185

9,6

12256

28,50

0,09

0,01

0,007

0,000

0,003

2,920049

27,9040273

9,6

10096

28,71

-0,81

0,66

0,673

0,816

0,029

5,740685

1090,15928

376,9

81096

1089,81

0,35

11,23

11,227

12,72

0,552

51,46

30,3

0,01

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,885

R-квадрат

0,784

Нормированный R-квадрат

0,771

Стандартная ошибка

0,580

Наблюдения

36

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Регрессия

2

40,33

20,17

59,86

Остаток

33

11,12

0,34

Итого

35

51,45

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-п. (а0)

21,1762

1,0069

21,0320

19,1277

23,2247

X1 (а1)

0,8949

0,0944

9,4749

0,7027

1,0870

X2 (а2)

-0,0001

0,0000

-3,8556

-0,0002

-0,0001

Yрасч. = 21,18 + 0,89*x1 - 0,0001*x2
- двуфактрная линейная модель регрессии.

а1 = 0,89 - если процентные ставки увеличить на единицу измерения, то курс доллара увеличится на 0,89 единиц.

а2 = -0,0001 - если прирост ЗВР увеличить на единицу измерения, то курс доллара снизится на 0,0001 единиц.

Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитаем критерий Фишера.

=

59,86

>

F (0,05;2;33) =

3,285

a=0,05

n1 = k = 2

n2 =n-k-1=36-2-1 =33

Fрасч. > Fтабл. -

значит уравнение регрессии статистически значимо, т.е. адекватно.

Проверка значимости параметров уравнения осуществляется по крит. Стьюдента:

Расчетные значения критерия Стьюдента для всех параметров возьмем из таллицы:

t (a0) =

21,03

>

2,03

t (a1) =

9,47

>

2,03

t (a ; n-m-1) = t (0,05;33) =

2,03

t (a2) =

-3,86

>

2,03

ВЫВОД: Все коэффициенты регрессии статистически значимы, т.е. значимо отличаются от нуля

с ошибкой в 5%.

Интервальные оценки параметров:

а0 = (19,13 : 23,22) - параметр значим.

а1 = (0,7 : 1,09) - параметр значим.

а2 = (-0,0002 : -0,0001) - параметр значим.

1) Равенство нулю математического ожидания:

=

0,57

=

0,1

<

t (0,05;35) =

2,03

ВЫВОД: Математическое ожидание стремитсям к нулю, свойство выполнено.

2) Случайность значений остатков (критерий поворотных точек или крит. пиков):

m = 19 -

число поворотных точек

'=' [

17,7

] =

17

=

1,13

Критические границы:

d1 = 1,29

d2 = 1,45

d расч. < d1 - остатки содержат автокорреляцию.

ВЫВОД: Свойство не выполнено.

=

0,57

Критические границы:

(3,58 : 5,04)

3,58 < 4,27 < 5,04 - расчитанное значение R/S-критерия попадает в границы.

ВЫВОД: Свойство выполнено, остатки подчиняются нормальному закону распределения.

5) Гомоскедостичность остатков:

Ранжируем ряд в порядке возрастания фактора X1:

Y

X1

X2

Y

X1

X2

30,472715

10,1

284

29,0297238

8,8

2948

30,8057

10

-214

28,6856318

9

-2920

31,0642667

10,7

452

29,0819261

9

2614

31,1735864

10,7

435

28,5292619

9,2

2328

31,2548842

11,1

1860

28,9892167

9,2

-734

31,40493

11,1

3072

29,2192857

9,2

384

31,5149864

12

1352

28,5146737

9,4

7052

31,5543087

10,3

-285

29,2220818

9,5

92

31,626655

10,5

1033

29,0703

9,5

6380

31,6933261

12,4

1292

28,591185

9,6

12256

31,8107429

12,8

1148

27,9040273

9,6

10096

31,83684

12

1438

30,5986333

9,8

-1702

31,816165

12,1

-412

30,8057

10

-214

31,6989789

11,9

1481

28,838795

10

8769

31,45329

11,2

3787

30,472715

10,1

284

31,2117864

10,9

2464

31,5543087

10,3

-285

30,907055

10,8

4322

30,164713

10,4

-679

30,4686263

11

5035

29,807965

10,4

2855

30,360287

11,1

-452

31,626655

10,5

1033

30,3490273

10,6

24

30,3490273

10,6

24

30,5986333

9,8

-1702

31,0642667

10,7

452

30,164713

10,4

-679

31,1735864

10,7

435

29,807965

10,4

2855

30,907055

10,8

4322

29,4337

11

3241

31,2117864

10,9

2464

28,838795

10

8769

30,4686263

11

5035

28,5146737

9,4

7052

29,4337

11

3241

28,5292619

9,2

2328

31,2548842

11,1

1860

28,6856318

9

-2920

31,40493

11,1

3072

28,9892167

9,2

-734

30,360287

11,1

-452

29,0297238

8,8

2948

31,45329

11,2

3787

29,0819261

9

2614

31,6989789

11,9

1481

29,2192857

9,2

384

31,5149864

12

1352

29,2220818

9,5

92

31,83684

12

1438

29,0703

9,5

6380

31,816165

12,1

-412

28,591185

9,6

12256

31,6933261

12,4

1292

27,9040273

9,6

10096

31,8107429

12,8

1148

Y

X1

X2

29,0297238

8,8

2948

28,6856318

9

-2920

29,0819261

9

2614

28,5292619

9,2

2328

28,9892167

9,2

-734

29,2192857

9,2

384

28,5146737

9,4

7052

29,2220818

9,5

92

29,0703

9,5

6380

28,591185

9,6

12256

27,9040273

9,6

10096

30,5986333

9,8

-1702

30,8057

10

-214

28,838795

10

8769

30,472715

10,1

284

31,5543087

10,3

-285

30,164713

10,4

-679

29,807965

10,4

2855

Регрессионная статистика

Множественный R

0,858

R-квадрат

0,735

Нормированный R-квадрат

0,700

Стандартная ошибка

0,528

Наблюдения

18

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Регрессия

2

11,62

5,81

20,85

Остаток

15

4,18

0,28

Итого

17

15,79

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

Y-пересечение

18,0795

2,4594

7,3511

12,8374

23,3216

X1

1,2129

0,2552

4,7520

0,6689

1,7570

X2

-0,0001

0,0000

-4,2681

-0,0002

-0,0001

Получаем первое уравнение регрессии: Yрасч.(X) = 18,08 + 1,21*x1 - 0,0001*x2

Определим для него остаточную сумму квадратов отклонений:

S1 yрасч. =

4,18

Y

X1

X2

31,626655

10,5

1033

30,3490273

10,6

24

31,0642667

10,7

452

31,1735864

10,7

435

30,907055

10,8

4322

31,2117864

10,9

2464

30,4686263

11

5035

29,4337

11

3241

31,2548842

11,1

1860

31,40493

11,1

3072

30,360287

11,1

-452

31,45329

11,2

3787

31,6989789

11,9

1481

31,5149864

12

1352

31,83684

12

1438

31,816165

12,1

-412

31,6933261

12,4

1292

31,8107429

12,8

1148

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,577

R-квадрат

0,333

Нормированный R-квадрат

0,244

Стандартная ошибка

0,567

Наблюдения

18

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Регрессия

2

2,399

1,200

3,737

Остаток

15

4,816

0,321

Итого

17

7,215

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

Y-пересечение

25,4945

2,3486

10,8554

20,4887

30,5004

X1

0,5096

0,2040

2,4976

0,0747

0,9444

X2

-0,0001

0,0001

-0,6220

-0,0002

0,0001

Получаем второе уравнение регрессии: Yрасч.(X) = 25,5 + 0,51*x1 - 0,0001*x2

Определим для него остаточную сумму квадратов отклонений:

S2 yрасч. =

4,82

F расч. =

1,152

<

F (0,05;16;16) =

2,333

=

0,580

(из регрессионной статистики)

Расчитаем среднюю относительную ошибку апроксимации:

=

1,53

%

<

7%

ВЫВОД: Модель точная.

г) Расчитаем коэффициент детерминации:

=

0,782

= 78,2%

ВЫВОД: 78,2% изменения курса доллара происходит под влиянием факторов, включенных в модель.

4. Прогнозирование на 3 месяца вперед:

Yпрогн. = 21,18 + 0,89*x1(прогн.) - 0,0001*x2(прогн.)

k

x1(прогн)

k

x2(прогн)

1

9,59

1

10376,3

=

-0,01

2

9,57

2

10656,7

=

280,3

3

9,56

3

10937,0

Расчитаем прогнозное значение результата Y:

Yпрогн.(37) = 21,18 + 0,89*9,59 - 0,0001*10376,3 = 28,54

Yпрогн.(38) = 21,18 + 0,89*9,57 - 0,0001*10656,7 = 28,50

Yпрогн.(39) = 21,18 + 0,89*9,59 - 0,0001*10376,3 = 28,45

Месяц

Данные

расчетн.

фактич.

январь

28,54

28,01

февраль

28,50

28,00

март

28,45

27,63