Содержание:
I Введение...................................................................................................... 3
Вступление................................................................................................. 3
Треугольники............................................................................................. 4
II Основная часть.......................................................................................... 8
Общие сведения о тригонометрических функциях............................ 8
Теоремы.................................................................................................... 13
Теорема о площади треугольника:................................................... 13
Теорема синусов:................................................................................. 14
Теорема косинусов:............................................................................. 16
Задачи........................................................................................................ 17
III Заключение............................................................................................ 20
Список литературы.................................................................................... 21
IВведение
Вступление
Геометрия - одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования. Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применяются как при решении математических задач, так и в жизни. Больше всего меня заинтересовали теоремы синусов и косинусов, которые применяются при решении произвольных треугольников. Цель данного реферата - уметь доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решении задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, знать, где данные теоремы применяются в жизни.
Треугольники
Треугольником
называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами
треугольника, а отрезки - его сторонами.
Виды треугольников
:
· Треугольник называется равнобедренным,
если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами,
а третья сторона называется основанием
треугольника.
· Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним
или правильным.
· Треугольник называется прямоугольным
, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой
, две другие стороны называются катетами
.
· Треугольник называется остроугольным
, если все три его угла – острые, то есть меньше 90°
· Треугольник называется тупоугольным,
если один из его углов – тупой, то есть больше 90°.
Бермудский Треугольник
- широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше одного миллиона квадратных километров. Рельеф дна в этой акватории хорошо изучен. На шельфе, который составляет значительную часть этого дна, было проведено множество бурений с целью отыскать нефть и другие полезные ископаемые. Течение, температура воды в разное время года, ее соленость и движение воздушных масс над океаном - все эти природные данные занесены во все специальные каталоги. Этот район не особенно сильно отличается от других похожих географических мест. И, тем не менее, именно в районе Бермудского треугольника загадочно исчезали суда, а затем и самолеты.
Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана и объясняются естественными причинами.Морские и воздушные суда погибают и в других районах земного шара, иногда бесследно. Неисправность радио или внезапность катастрофы может помешать экипажу передать сигнал бедствия. Поиск обломков в море — непростая задача, особенно в шторм или когда место катастрофы точно неизвестно. Если учесть очень оживлённое движение в районе бермудского треугольника, частые циклоны и штормы, большое количество отмелей, количество случившихся здесь катастроф, которые так и не получили объяснения, не является необычно большим.
Впервые о «таинственных исчезновениях» в бермудском треугольнике упомянул корреспондент Associated Press Джонс, в 1950 году он назвал этот район «морем дьявола». Автором словосочетания «бермудский треугольник» обычно считают Винсента Гладдиса, опубликовавшего в 1964 году в одном из журналов, посвящённых спиритизму, статью «Смертоносный бермудский треугольник».
Египетский треугольник
— прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.
Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.
Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.
Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.
В архитектуресредних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.
II Основная часть
Общие сведения о тригонометрических функциях
Тригонометрия
– слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Длительную историю имеет понятие синус
. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус
намного моложе. Косинус
– это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)). Тангенсы
возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin
и cos
были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернуллив письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tg x
, ct
g
x
, sec x
, cosec x
.
Синус, косинус, тангенс, котангенс.
· Синусом
острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).
· Косинусом
острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).
· Тангенсом
острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).
· Котангенсом
острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB)
.
Значения тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
|
|
0°(0 рад)
|
30° (π/6)
|
45° (π/4)
|
60° (π/3)
|
90° (π/2)
|
180° (π)
|
270° (3π/2)
|
360° (2π)
|
| N/A | N/A | |||||||
| N/A | N/A | N/A |
Значения косинуса и синуса на окружности.
Свойства тригонометрических функций
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:
Формулы приведения:
sin(90° - α) = cosα
cos(90° - α) = sinα
sin(180° - α) = sinα
cos(180° - α) = - cosα
Чётность и нечетность функций.
Чётная функция
- функция y
=
f
(
x
)
называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f
(-
x
) =
f
(
x
)
Нечётная функция
- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-
x) = -
f(
x)
Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:
Теоремы
Теорема о площади треугольника:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. S = ½ ab sin C
|
Дано:
∆ АВС, АВ= с, ВС
= a
, СА
= b
,
h
-
высота
Доказать:
S = ½ absinC
Доказательство:
Введём систему координат с началом в точке С
так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх
, а точка А
имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah
,
где h
–
высота треугольника. Но h
равна ординате точки А
, т.е. h
=
b
sinC (т.к. sinC = h
/
b
) => S = ½ absinC
Ч.т.д.
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
|
Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b
Доказать
:
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
Доказательство:
По теореме о площади треугольника S= ½ absinC, S = ½ bcsinA, S= ½ acsinB.
Из первых двух равенств получаем ½ absinC = ½ bcsinA,
½ ab sinC = ½ bc sinA │ : ½ b
a sinC = c sinA │: sinA sinC
a/sinA = c/sinC
Точно также из второго и третьего равенства получаем
½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c
b sinA = a sinB │: sinA sinB
b/sinB = a/sinA
Таккакa/sinA = c/sinC иb/sinB = a/sinA, тоa/sinA= b/sinB= c/sinC.
Ч.т.д.
Замечание:
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего
угла равно диаметру описанной окружности.
a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R
Дано:
R
– радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр
Доказать:
BC/sinA = 2R (BC=2RsinA)
Доказательство:
Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2RsinAили BC/sinA= 2R.
Ч.т.д.
Теорема косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a
|
Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b
Доказать:
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc
cosα
Доказательство:
Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(bcosA; bsinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2получаем:
ВС2
= a
2
= (b cosA – c)2
+(bsinА- 0) 2
,
a
2
= b2
cos2A - 2bc cosA + c2
+ b2
sin2
A,
a
2
= b2
(cos2A + sin2A) + c2
- 2bc cosA,
a
2
= b2
+ c2
– 2bc cosA.
Ч.т.д.
Обобщенная теорема Пифагора.
Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° =
0 и по a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc
cosα получаем:
a
2
= b
2
+ c
2
,
т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.
Задачи
№1
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано
:
a
= 7 см, b
= 23cм, ∟
C
= 130°
Найти:
с
, ∟
А,
∟
В
Решение
:
c
2
= a
2
+ b
2
− 2bc
cosC
с
=
√
49 + 529 -
2×7×23×(-0,643)»
28
cos A = b
2
+ c
2
− a
2
/ 2bc
cos A =
(529 + 784 – 49) / 2 ×23× 28 » 0,981
∟
А
» 11°
∟
В
=
180° - (∟
А
+
∟
C) =
180°- (11°+130°) » 39°
Ответ:
c
»
28, ∟
А
» 11°, ∟
B
» 39°.
№2
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Дано:
а=
20 см, ∟
А=
75°,
∟
В=
60°
Найти:
∟
C
,
b
,
c
Решение:
∟
C
=
180-(60°+75°) = 45°
a
/sin A
= b
/sin B
= c
/sin C
b = a
×
(sin B
/ sin A
)
b
» 20×(0,866/ 0,966)»17,9
c = a
× (sin C
/ sin A
)
c
= 20×(0,7/ 0,966)»14,6
Ответ:
∟
C
=
45°, b
» 17,9 см, c
»14,6 см.
№3
Решение треугольника по трем сторонам.
Дано:
а=
7 см, b
=2 см, с
=8 см
Найти:
∟
А,
∟
В,
∟
С.
Решение:
cos A
= (4 + 64 – 49) / 2 × 2 × 8 » 0,981
∟
А
» 54°
cos B
= (49 + 64 – 4) / 2 × 7 × 8 » 0,973
∟
В
»
13°
∟
С
=
180° - (54° + 13°) = 113°
Ответ:
∟
А
» 54°, ∟
В
»
13°,
∟
С
= 113°
№4
Измерение высоты предмета.
Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а
от основания Н предмета и измерим ∟АВН=a. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = а
tg a.
Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а
друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН =a, ∟АСВ = b, ∟ВАС = a –b.Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ: АВ = asinb/ sin (a –b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:
АН = АВ sin a= a sina sinb / sin (
a –b).
№5
Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).
На местности выберем точку В
и измерим длину с
отрезка АВ.
Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А
и В:
∟А=
a и ∟В
= b. Эти данные, т.е. с
, a и b, позволяют решить ∆АВС и найти искомое расстояние d=AC.
Находим ∟С
и sinC
:
∟С=
180°-
a –b, sin C= sin(180°-
a –b) = sin(a+b).
Так как d/sinb = c/sinC, то d = csinb/ sin(a+b).
III Заключение.
В данном реферате были выполнены все поставленные задачи: узнали более подробную информацию о тригонометрических функциях; привели доказательства теорем косинусов и синусов, а также теоремы о площади треугольников, применили их в решении задач на нахождение неизвестных элементов треугольника, узнали, как используются данные теоремы при проведении измерительных работ на местности. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.Список литературы.
1. Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс – 12-е изд.-М.: Просвещение, 2002г., стр.157-159, 256-261
2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971., стр.56-57
3. Берманд А. Ф. Тригонометрия, 1967г., стр.4-6
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс – 13-е изд.-М.: Просвещение, 2006г., стр.112-114
5. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. МЦНМО, 2004., стр. 84-85.
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №4 г.Балабаново»
Реферат
на тему:
«Решение треугольников»
Выполнила
ученица 9 б класса
Матвеева Анастасия
учитель
Заречкова Л.И.
г.Балабаново 2010