Решение открытой транспортной задачи

Решение открытой транспортной задачи

Содержание

Введение 2

1. Транспортная задача и методы её решения 4

1.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи 4

1.2. Открытая модель транспортной задачи 7

1.3. Методы составления начального опорного плана 9

1.4. Понятие потенциала и цикла 12

1.5. Критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи 15

1.6. Распределительный метод решения транспортной задачи 16

2. Разработка и описание алгоритма решения задачи 18

2.1. Содержательная постановка задачи 18

2.2. Построение математической модели задачи 18

2.3. Решение задачи вручную 18

2.4. Решение задачи с помощью Excel 23

Введение

Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируются получаемый в результате общий доход.

Например затраты обусловленные назначением одной автомашины на некоторый маршрут доставки грузов, не зависят от того какие машины назначены на обслуживание других маршрутов. В то же время при распределении средств между подразделениями фирмы доход от затрат определенного количества денег одним ее подразделением (скажем производством) обычно зависит от того, какие средства будут затрачены другими подразделениями (скажем отделом сбыта). В теории распределения рассматриваются преимущественно задачи с независимыми затратами и доходами. Это объясняется не тем, что такие задачи более важны, а лишь тем, что для них значительно легче строить модели и получать решения.

Распределительные задачи с независимыми линейными функциями затрат (или дохода) стали объектом, наиболее интенсивных исследований, в виду того что для их решения были развитые эффективные, итеративные методы линейного программирования. Однако имеются также методы решения некоторых нелинейных распределительных задач, в том числе методы основанные на линейной аппроксимации.

Распределение ресурсов для одного периода времени может влиять на распределения ресурсов для последующих периодов, а может не оказывать на них никакого влияния. Если каждое из последовательности распределений не зависит от всех остальных, то такая задача называется статистической
, в противном случае имеем динамическую
распределительную задачу. Статистические задачи исследованы в большей степени, чем динамические, но для решения некоторых типов динамических задач успешно применяются методы линейного динамического и динамического программирования. Для решения некоторых динамических задач применяют методы стохастического программирования. В таких задачах принятие решений основано на вероятностных оценках будущих значений параметров, имеющих фиксированное распределение вероятностей.

Если ресурсы можно разделить между работами, то некоторые работы можно выполнять с помощью различных комбинаций ресурсов. Если работы и ресурсы измеряются в единицах одной и той же шкалы, то такие задачи обычно называют транспортными
или задачами разложения. Если же работы и ресурсы выражаются в различных единицах измерениях, то задача называется общей распределительной задачей
. Таким образом транспортная задача является частным случаем общей распределительной задачи.

1.Транспортная задача и методы её решения

1.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи

Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков Ai
в количестве ai
(i=1,2,3,...,m) единиц соответственно, необходимо доставить n потребителям Bj
в количестве bj
(j=1,2,3,...,n) единиц. Известна стоимость Cij
перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю.

Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывезти все грузы, полностью удовлетворить Cij
xij
потребности и имеющий минимальную стоимость.

Обозначим через xij
количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю; тогда условия задачи можно записать в виде таблицы, которую в дальнейшем будем называть матрицей планирования.

Таблица №1

Составим математическую модель задачи. Так как от i-го поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке xij
единиц груза, то стоимость перевозки составит Cij
xij
.

Стоимость всего плана выразится двойной суммой:

Z = .

Систему ограничений получаем из следующих условий задачи:

А) все грузы должны быть вывезены, т.е.

(i = 1,2,3,..., m) (эти уравнения получаются из строк таблицы 1);

Б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е.

(j = 1,2,3,...,n) (уравнения получаются из столбцов таблицы 1).

Таким образом, математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид.

Найти наименьшее значение линейной функции:

Z = ( 1)

При ограничениях

, i = 1, 2, ..., m, ( 2 )

, j = 1,2,3,...,n , ( 3 )

Xij
³ 0 ( j = 1,2,3, ..., m; i = 1,2,3, ..., n).

В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е.

( 4 )

Такая модель называется закрытой.

Теорема
1. Любая транспортная задача, у которой суммарный объем запасов совпадает с суммарным объемом потребностей, имеет решение.

Для доказательства теоремы необходимо показать, что при заданных условиях существует хотя бы один план задачи и линейная функция на множестве планов ограничена.

Доказательство. Пусть = M > 0.

Тогда величины xij
= ai
bj
/M (i = 1,2,3, ... M ; j = 1,2,3, ..., n) являются планом, так как они удовлетворяют системе ограничений

( 2 ) и ( 3 ) .

Действительно, подставляя значения в ( 2 ) и ( 3 ) , находим

= ai
,

= bj
.

Выберем из значений Cij
наибольшее C¢ = max Cij
и заменим в линейной функции ( 1 ) все коэффициенты на C¢ тогда, учитывая ( 2 ) , получим

,

Выберем из значений Cij
наименьшее C¢¢=min Cij
и заменим в линейной функции все коэффициенты на C¢¢ ; тогда, учитывая ( 2 ) имеем

Т. Е. Линейная функция ограничена на множестве планов транспортной задачи.

1.2. Открытая модель транспортной задачи

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т. е. выполняется условие , называется закрытой моделью; в противном случае ¾ открытой. Для открытой модели может быть два случая:

a) суммарные запасы превышают суммарные потребности
;

b) суммарные потребности превышают суммарные запасы
.

Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений.

Найти минимальное значение линейной функции

при ограничениях

, i = 1, 2, ..., m, (случай а)

, j = 1, 2, ..., n;

, i = 1, 2, ..., m, (случай б)

, j = 1, 2, ..., n,

xij
³
0 (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).

Открытая модель решается приведением к закрытой модели.

В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель Bn
+1
, потребности которого bn
+1
=
. В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Am
+1
, запасы которого am
+1
=
.

Стоимость перевозки единицы груза как фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычном способом. При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодных поставщиков. То же самое получаем и в отношении фиктивного поставщика.

Прежде чем решать какую-нибудь транспортную задачу, необходимо сначала проверить, к какой модели она принадлежит, и только после этого составить таблицу для ее решения.

1.3. Методы составления начального опорного плана

Как и для других задач линейного программирования, итерационный процесс по отысканию оптимального плана транспортной задачи начинается с опорного плана .

Рассмотрим систему ограничений ( 2 ) и ( 3 ) транспортной задачи. Она содержит m´n неизвестных и m+n уравнений,

Связанных соотношением (4). Если сложить почленно уравнения отдельно подсистемы ( 2 ) и отдельно подсистемы ( 3 ), то получим два одинаковых уравнения . В таблице такое сложение равнозначно соответственно почленному сложению столбцов и почленно сложению строк .

Наличие в системе ограничений двух одинаковых уравнений говорит о ее линейной зависимости. Если одно из этих уравнений отбросить, то в общем случае система ограничений должна содержать m+n-1 линейно независимых уравнений, следовательно, невырожденный опорный план транспортной задачи содержит m+n-1 положительных компонент или перевозок.

Таким образом, если каким-либо способом получен невырожденный опорный план транспортной задачи, то в матрице

( Xij
) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ... , n) значений его компонент (таблицы 2) положительными являются только

M+n-1, а остальные равны нулю.

Если условие транспортной задачи и ее опорный план записаны в виде таблицы, то клетки, в которых находятся отличные от нуля перевозки, называются занятыми, а остальные - незанятыми.

Занятые клетки соответствует неизвестным, и для невырожденного опорного плана их количество равно

M+n-1. Если ограничения транспортной задачи записаны в виде ( 2 ) и (3) то, как известно, базисным неизвестным, включенным в опорный план, соответствует система линейно независимых векторов.

Всякий план транспортной задачи, содержащий более

M+n-1 занятых клеток, не являются опорным, так как ему соответствует линейно зависимая система векторов. При таком плане в таблице всегда можно построить замкнутый цикл, с помощью которого уменьшают число занятых клеток до m+n-1.

Циклом называется набор клеток вида ( i1
j1
)( i1
j2
)*( j2
i2
)( j1
im
), в котором две и только две соседние клетки расположены в одном столбце или одной строке таблицы, причем последняя клетка находится в той же строке или столбце, что и первая.

Если к занятым клеткам, определяющим опорный невырожденный план, следовательно, и ацикличный, присоединить какую-либо незанятую клетку, то план становится не опорным, появляется единственный цикл, все вершины которого, за исключением одной, лежат в занятых клетках.

Существует несколько простых схем построения первоначального опорного плана транспортной задачи.

При составлении первоначального опорного плана методом северо-западного угла стоимость перевозки единицы не учитывается, поэтому построенный план далек от оптимального, получение которого связано с большим объемом вычислительных работ. Поэтому рассмотренный метод используется при вычислениях с помощью ЭВМ.

При использовании метода минимальной стоимости запасы поставщиков перераспределяются потребителям по минимальным стоимостям , а в методе двойного предпочтения перераспределения предпочтительно производятся через те клетки ,чьи стоимости минимальны как для поставщиков , так и для потребителей .

Стоимости планов, полученных методами минимальной стоимости и двойного предпочтения меньше стоимости плана, полученного методом северно-западного угла, значит они ближе к оптимальному.

Между собой методы минимальной стоимости и двойного предпочтения равноценны, их легко программировать. Полученные планы доводят до оптимального методом потенциалов.

1.4. Понятие потенциала и цикла

Если план X* = (x*ij
) транспортной o
задачи является оптимальным, то ему соответствует набор из m + n чисел Ui
* и Vj
* , удовлетворяющих условиям

Ui
* + Vj
* = Cij
для xij
* > 0

Ui
* + Vj
* £ Cij
для xij
* = 0

(i = 1, 2, 3, ..., m ; j = 1, 2, 3, ..., n) .

Числа Ui
* и Vj
* называются потенциалами соответственно поставщиков и потребителей.

Доказательство.
Транспортную задачу минимизации линейной функции Z = при ограничениях

xi1
+ xi2