Вынужденные колебания

Реферат
На тему «Вынужденные колебания»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Вначале рассмотрим затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе всег­да имеется сила трения (для механической систе­мы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.

Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.

.
(1.1)

Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обуслов­лен тем, что сила F
и скорость v
направлены в про­тивоположные стороны.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид

.
(1.2)

Применим следующие обозначения

,
(1.3)

Тогда

(1.4)

Где ω0
— собственная частота коле­бательной системы.

Будем искать решение уравнения в виде

(1.5)

Найдём первую и вторую производные

Подставим выражения в уравнение (1.5)

Сократим на

(1.6)

Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэф­фициента, стоящего при и.
Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b<ω0
— тре­ние мало). Введя обозначение ,придем к уравнению

Решением этого уравнения будет функция

Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем

(1.7)

Здесь A0
и α — постоянные, значения которых зави­сят от начальных условий, ω — величина, определяе­мая формулой

.

Скорость затухания колебаний определяется ве­личиной ,
которую называют коэффи­циентом затухания
.

Для характеристики колебательной системы употребляется также величина

называемая добротностью
колебательной си­стемы. Она пропорциональна числу колебаний Ne
, совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e
раз.

Вынужденные колебания.

Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изме­няющейся со временем по гармоническому закону:

(2.1)

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид

Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид:

(2.2)

Здесь b — коэффициент затухания, ω0
— собственная частота колебательной системы, ω — частота выну­ждающей силы.

Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид

(2.3)

Где .

Попробуем найти частное решение (2.2) в виде (2.4)

где — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.

(2.5)

(2.6)

Развернем и по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) :

Сгруппируем члены уравнения:

(2.7)

Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosωt и sinωtв обеих частях уравнения будут оди­наковыми.

(2.8)

(2.9)

Найдём значения A
и при которых функция (2.4) удовлетворяет уравне­нию (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом

(2.10)

Из (2.9) следует, что

(2.11)

Подставим значения A
и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):

(2.12)

Общее решение имеет вид

Первое слагаемое играет за­метную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошест­вии достаточного времени им можно пренебречь, со­хранив в решении только второе.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказы­вается особенно отзывчивой на действие вынуждаю­щей силы при данной частоте. Это явление называет­ся резонансом
, а соответствующая частота — резонансной частотой
.

Для того чтобы определить резонансную частоту ωрез
, нуж­но найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по ω и приравняв производную нулю:

Решения этого уравнения ω=0 и , но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответст­вует максимуму знаменателя, а не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).

(2.13). Следовательно (2.14)

Зависимость амплиту­ды вынужденных колеба­ний от частоты ко­лебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что b2
> ω0
) выражение для ре­зонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.

Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.

Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b<<ω0
) амплитуда при резонансе

Если разделить это выражение на смещение x
0
из положе­ния равновесия под действием постоянной силы F0
, равное .
В результате получим, что

где - логарифмический декремент затухания.

Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резо­нансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Лит-ра:

И. В Савельев “Курс общей физики”.

P.S.

Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему «Сложение колебаний».