Методы математического анализа и расчёта электронных схем

Тольяттинский государственный университет

Кафедра "Промышленная электроника"

РАСЧЁТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ДЕМПФЕРА.

Пояснительная записка к курсовой работе по курсу "Методы математического анализа и расчёта электронных схем"

Вариант № 15

Студент: Моторин С.К.

Группа: Э-306

Преподаватель: Кудинов А.К.

Тольятти 2003

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

3. Коррекция точек стыковки

4. Реализация численных вычислений И ПОЛУЧЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Заключение

Список используемой Литературы

ВВедение

Математическое моделирование устройств промышленной электроники проводится как альтернатива физическому моделированию с целью уменьшения производственных затрат, либо с целью оптимизации параметров разработанных схем. Задача оптимизации параметров, как правило, отличается большой сложностью и требует для своего решения значительных затрат машинного времени. Поэтому эффективность разрабатываемых программ имеет существенное значение и определяется выбором математической модели устройства, а также методов её анализа и оптимизации. Данная работа ориентирована на математическое моделирование вентильных устройств (ВУ) промышленной электроники, как наиболее сложных механических систем с переменными во времени параметрами и структурой. Целью данной работы является составление математической модели электромагнитного демпфера, проверка удовлетворительной работы демпфера при заданных начальных условиях и значениях параметров, а также определение границ допустимых значений, тех или иных параметров системы, при которых работа демпфера удовлетворительна. Работа демпфера считается удовлетворительной, если выполняются условия:

а) масса достигает опоры и остаётся лежать на ней без повторных отскоков;

б) скорость в момент удара £ 0,25 скорости, с которой бы произошло соударение при отсутствии демпфера.

1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Промоделировать процессы в электромеханической системе, изображенной на рис.1.1., и построить графики зависимости во времени высоты и скорости груза, тока катушки, магнитной индукции в сердечнике при заданных значениях параметров:

Диаметр расточки: D = 0,06 м;

Зазор на сторону: z = 1мм;

Размеры катушки: hk
= 3 см;

bk
= 3см;

Диаметр провода: dпр
= 1,2 мм;

Число витков: w = 397;

Удельное сопротивление провода: r = 1,78×10-8
Ом×м;

Масса груза: m = 30 кг;

Высота груза над опорой: H = 20 мм;

Начальная скорость груза: Vo
= 0 м/с;

Начальное положение сердечника относительно катушки: хо
= -15 мм;

Ток источника: J = 3,4 А.

Построить график зависимости посадочной скорости груза (в момент удара об опору) от высоты груза Н и положения хо
. По построенным зависимостям определить диапазон допустимых значений Н и положения хо
, при которых достигается удовлетворительное демпфирование.

Исследуемая электромеханическая система.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

Электромеханическая система на рис. 1.1. представляет собой электромагнитный демпфер, который нужен для снижения скорости движущейся массы перед ударом. В исходном состоянии масса m поднята над опорой на высоту H. Предоставленная самой себе масса начинает двигаться в поле силы тяжести и падает на опору. Удар считается абсолютно неупругим (вся кинетическая энергия теряется). Для снижения энергии удара с массой m жёстко связан якорь электромагнитного демпфера. Индуктор с катушкой закреплёны неподвижно относительно опоры. Катушка подключена к схеме питания. Положение индуктора подобрано таким образом, что при подлёте массы к опоре электромагнитная сила, развиваемая демпфером, резко возрастает, в результате чего скорость падения массы и энергия удара снижается.

Для упрощения математической модели приняли следующие допущения:

Магнитная проницаемость стали равна бесконечности: mст
= ¥;

Электропроводность равна нулю: rст
= 0.

i - ток в катушке;

w - число витков в катушке;

G(x) - зависимость проводимости магнитной цепи от положения сердечника.

При таких допущениях магнитную цепь считаем линейной и электромагнитную силу направленную по оси ОХ на рис.1.1. определили по формуле:

Для построения графика функции G(x) приняли, что сердечник имеет координату x=0 тогда, когда его верхний торец расположен на уровне верхнего края катушки. Поскольку аналитическое определение зависимости G(x) представляет собой сложную задачу, а погрешность расчёта магнитных цепей велика, то зависимость G(x) аппроксимировали аналитической функцией вида:

(2.2)

где

- магнитная проводимость полная при введенном якоре;	(2.7.)
	(2.8.)

График G(x) приведен на рис. 2.1.

Также нашли аналитические выражения для Ba - средняя индукция якоря, формула (2.9.) и Y - потокосцепление, формула (2.10.):

(2.9.)
(2.10.)

Соотношения 2.2. – 2.10. использовали далее при математическом моделировании электромагнитного демпфера.

На рис.2.2 приведена электрическая схема питания обмотки демпфера. В начальный момент времени диод VD закрыт и ток источника тока J бежит по обмотке демпфера. В некоторый момент времени, когда напряжение на диоде достигнет порогового, диод откроется. Энергия запасенная в обмотке демпфера будет уменьшаться, так как образуется короткозамкнутый контур. Ток через диод будет также уменьшаться, а так как сила пропорциональна току, то будет

График функции G(x).

Рис. 2.1.

Схема питания обмотки демпфера.


уменьшаться и сила, то есть и скорость груза. Анализировали переходные процессы методом припасовывания. Согласно данному методу весь период работы схемы разбивается на отдельные "интервалы линейности", каждый из которых описывается линейной системой дифференциальных уравнений (ДУ). Припасовывание заключается в стыковке полученных численных решений, причём значения переменных состояния, полученные в конце n - го интервала, используются как начальные значения этих же переменных состояния для (n+1) - го интервала. Зная, что количество ключевых элементов в схеме определяет количество интервалов линейности, а для исследуемой схемы этих элементов 2, диод и контакт между грузом и опорой, определили количество интервалов линейности. Получили четыре возможных интервала линейности.

Для упорядочения состояний ввели логические переменные:

«0» - если диод закрыт;

«1» - если диод открыт;

«0» - если контакта нет;

«1» - если контакт есть.

Определили номер состояния по формуле:

n = VD + 2Cont. (2.11.)

Для каждого из состояний получили математическую модель в виде системы дифференциальных уравнений и системы условий, определяющих нахождение системы в этом состоянии. Переменными состояния являются потокосцепление, скорость движения груза относительно опоры и координата сердечника. Перед началом численного интегрирования им присваивали начальные значения, взятые из предыдущего состояния. Также составили условия перехода от одного состояния к другому.

Составили математические модели для состояний исследуемой системы:

Состояние n = 0 (диод закрыт, контакта между грузом и опорой нет). Данное состояние описывается системой дифференциальных уравнений 2.12. Условиями перехода от этого состояния к другим являются неравенства 2.1

3 – 2.14. Схема замещения для этого состояния показана на рис. 2.3.

(2.12.)

Условие открытия диода:

(2.13.)

Условие летящего груза:

(2.14.)

Если выполняются условия 2.13 - 2.14, то схема переходит к состоянию n=1 (открылся диод, контакта нет).

Состояние n=1 (диод открыт, контакта нет). Данное состояние описывается системой дифференциальных уравнений 2.15. Условиями перехода от этого состояния к другим являются неравенства 2.16 и 2.17. Схема замещения для этого состояния показана на рис.2.4.

Условие закрытия диода:

	(2.16.)

Схема замещения для состояния n=0.

Рис. 2.3.

Схема замещения для состояния n=1.

Рис. 2.4.

Условие груза лежащего на опоре:

(2.17.)

Если выполняются условия 2.16 и 2.17, тогда схема переходит к состоянию n=2.

Состояние n=2 (диод заперт, контакт есть). Данное состояние описывается уравнением 2.18. Схема замещения для данного состояния показана на рис. 2.3.

IL
= J (2.18.)

Если система пришла в данное состояние, то ни в какое другое состояние она уже перейти не может, то есть переход системы в данное состояние означает завершение её работы.

Состояние n=3 (диод открыт, контакт есть). Данное состояние описывается уравнением 2.19. Условиями перехода от этого состояния к другим будут неравенства 2.14 и 2.16. Схема замещения для данного состояния показана на рис.2.4.

Получены системы дифференциальных уравнений (СДУ) для всех состояний исследуемой системы. Перед началом численного интегрирования переменным состояния, входящим в эти СДУ, присваивали начальные значения переменных состояния из предыдущего состояния.

3. КОРРЕКЦИЯ ТОЧЕК СТЫКОВКИ

Точный момент переключения из одного состояния в другое можно определить достижением точного равенства в условиях переключения. Однако при численном интегрировании условия переключения проверяются не в каждый момент времени, а дискретно, то есть с каким - то шагом интегрирования. Поэтому добиться точного равенства в условиях переключения практически невозможно. Для уменьшения ошибки определения момента переключения и, соответственно, ошибки определения начальных условий для следующего состояния можно уменьшить шаг интегрирования. Однако, это приводит к возрастанию времени расчёта и возрастанию погрешности округления.

В данной работе использован следующий подход. Пусть условие переключения выглядит следующим образом:

Р £ 0,

где Р - это критерий переключения;

Пусть на к - ом шаге интегрирования Рк
> 0, а на к +1 - ом шаге Рк
< 0. В этом случае очевидно, что точный момент переключения находится между рассматриваемыми моментами времени tк
и tк+1
:

tк
= k × h (3.1.)

tк+1
= (k + 1) × h (3.2.)

где h - это шаг интегрирования.

Предположим, что параметр Р изменяется линейно (рис.3.1), из подобия треугольников находим:

t* = tк
+ mh (3.3.)

где (3.4.)

m - коэффициент деления шага интегрирования.

Аналогично должны быть уменьшены приращения, полученные всеми переменными состояния на к+1 - ом шаге интегрирования:

График определения момента переключения.

Рис. 3.1.

(3.5.)

- значение i - ой переменной состояния в момент времени tк
;

DXi
- приращение i - ой переменной состояния на k+1 - ом шаге интегрирования;

- точное значение i - ой переменной состояния в момент переключения.

Используя данный подход, удалось существенно снизить погрешность определения начальных условий, причём время расчёта практически не увеличилось.

4. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ПОЛУЧЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Для численного интегрирования систем дифференциальных уравнений полученных в пункте 2 данной работы использовали метод Кутта-Мерсона. Данный метод применяется при анализе цепей с вентильными элементами, когда вентильные элементы рассматриваются как идеальные, а исследуемая электромеханическая система содержит такие элементы.

Нижеприведенная программа рассчитывает ток, магнитную индукцию, высоту груза над опорой и скорости ее перемещения. Также данная программа строит графики зависимостей этих величин от времени. При запуске программы ЭВМ предлагает пользователю выбрать рассчитываемую величину и указать диапазон значений в пределах которых будет изменяться выбранная величина. По окончанию работы программа выводит график зависимости выбранной величины от времени. Программу следует запускать столько раз, сколько зависимостей требуется получить.

Графики тока, индукции, скорости и высоты в зависимости от времени приведены на рис. 4.1.- 4.4. Также с помощью данной программы построили графики зависимости скорости в момент удара об опору от Н и Хо
рис.4.5. и 4.6. и определили допустимых значений Н и Хо на уровне 1/4V. Получили диапазоны: по Н – от 18,2 до 22,4 мм; по Хо – от 13,2 до 17,7 мм.

Текст программы представлен ниже. Блок схема изображена на рис.4.7. Основные переменные программы и их назначение приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

Таблица идентификаторов.

Имя переменной	Назначение переменной в программе
Cont, VD	Логические переменные.
P, i, j, egavga, mode	Вспомогательные целочисленные переменные.
dpr, z, rr, w,hp, hk, bk, d, m, R	Исходные параметры демпфера заданные в техническом задании.
k1,k2,k3,k4,k5,k11,k22,k33,k44,k55,kk1,kk2,kk3,kk4,kk5,kv,kv2,kv3,kv4,kv5	Переменные коэффициенты численного интегрирования.
Ymax, Ymin, Vmax, Vmin, Xmin, Xmax, Fmin, Fmax, bmax, bmin, hmax, hmin	Переменные обозначающие диапазон изменения соответствующей величины.
h	Шаг интегрирования.
IL, Y, V,X	Динамические переменные состояния ЭМД.
Step	Момент интегрирования.
Go, gm, g1	Магнитные проводимости.

Блок-схема программы.

Рис. 4.7.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был исследован электромагнитный демпфера. Были получены зависимости от времени высоты и скорости груза, тока в обмотке и магнитной индукции в сердечнике. При заданных параметрах электромеханической системы достигается удовлетворительное демпфирование, то есть скорость в момент удара массы об опору не превышает ¼ от посадочной скорости массы без демпфера. Удовлетворительное демпфирование достигается лишь в небольшом диапазоне значений Н и Хо, близких к заданным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу "Математическое моделирование устройств промышленной электроники на ЭВМ".-ТПИ,1995;

2. Конспект лекций по "Методам математического анализа и расчёта электронных схем".