ЗНО математика 2006

Зошит номер Міністерство освіти і науки України Український центр оцінювання якості освіти МАТЕМАТИКА ЗОВНІШНЄ ОЦІНЮВАННЯ Час виконання – 135 хвилин Екзаменаційний тест складається з трьох частин, у яких представлено 38 завдань різної форми. Відповіді на завдання Частини 1 та Частини 2 Ви повинні перенести в бланк А . Розв’язання завдань Частини 3 необхідно записати у бланку Б . Правила виконання завдань вказано на початку кожної форми завдань. Інструкція щодо роботи в тестовому зошиті 1. Відповідайте тільки після того, як Ви уважно прочитали та зрозуміли завдання й правила його виконання. 2. Використовуйте як чернетку місця, відведені у тестовому зошиті. 3. Намагайтеся відповісти на всі тестові завдання. Інструкція щодо заповнення бланків відповідей А і Б 1. До бланків записуйте лише правильні, на Вашу думку, відповіді. 2. Відповіді вписуйте чітко, відповідно до інструкцій щодо кожної форми завдань. 3. Подвійні, неправильно записані, закреслені, підчищені та виправлені відповіді у бланку А – це ПОМИЛКА! 4. Якщо Ви записали відповідь неправильно, можете її виправити у відведеному місці на бланку А . 5. Виконавши завдання Частини 3, запишіть їх на бланку Б . 6. Ваш результат залежатиме від загальної кількості правильних відповідей, записаних до бланка А , та розв’язання завдань Частини 3. 7. Перш ніж виконувати завдання, позначте номер Вашого зошита у відповідному місці бланка А . Ознайомившись з інструкцією, перевірте якість друку зошита й кількість сторінок. Їх має бути 24. Зичимо Вам успіху!

Частина 1

Завдання 1
–
20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1.
Обчисліть 1255
32 −5.

А 11 5

Б 10 2 − 5

В 9

Г 9 5

Д 10 4000 −

5

2.
Якщо 1
= 1
−1
, то c
= a b c

ab А a −b		ab Б b −a			В a −b		1 1 Г − a b		a −b Д ab
3. Знайдіть вираз, тотожно рівний даному виразу							x 4 + x	3 − x −1.
А			Б			В			Г	Д
(x +1)2 (x 2 + x +1)			(x 2 − x +1)(x −1)2			(x −1)3 (x +1)			(x −1)(x +1)3	(x 2 −1)(x 2 + x +1)
4. Розв’яжіть нерівність a 2 > a .
А (1;+∞)	Б (0; 1)			В (−∞; 0)			Г (−∞; 0)Υ(1;+∞)			Д (−∞; 1)

5.
З-поміж наведених графіків укажіть графік функції y
=− x
+ 3 .

А

Б

В

Г

Д

y 3

x

–3

3 x

3 x

–3

y x –3

–3

y

3

6.
Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту ж саму суму грошей?

1 А % 5

1 Б % 4

В 10%

Г 20%

Д 25%

7.
Обчисліть значення виразу log5
49 + 2log5
5
.

7

А 0

Б 1

В 2

Г 4

Д 25

8.
Розв’яжіть рівняння sin (3x
) = 1
.

2

А	Б	В	Г	Д
Z	Z	(−1)k	Z	Z	Z

9.
Знайдіть множину значень функції f
(x
) = (sin x
+ cos x
)2
.

А [1; 2]

Б [0; 2]

В [−

2 ]

Г [0; 1]

Д інша відповідь

10.
Задано рівняння:

log2
x
− log2
(x
− 2)=1, (1) cos x
=1− 3, (2) x
+ 2 =−3, (3)

sin(x
+) = −π. (4)

Укажіть рівняння, яке НЕ МАЄ коренів на множині дійсних чисел.

А (1) і (4)

Б (2) і (3)

В (1) і (2)

Г (3) і (4)

Д інша відповідь

11.
На рисунку зображено графік функції y
= f
( )x
і дотичну до нього в точці з абсцисою x
0
.

Знайдіть значення f
′(x
0
).

А −2

Б −1

В 0

Г 1

Д 2

12.
Обчисліть значення виразу sinα+sinβ, якщо α−β=180ο
.

А 1

1 Б 2

В 0

1 Г – 2

Д інша відповідь

13.
Розв’яжіть нерівність log1
3⋅log4
x
> 0.

4

А (1;+∞)

Б (0; 4)

В (0; 1)

Г (4 ;+∞)

Д (−∞; 1)

14.
Укажіть непарну функцію.

А y = x 2 −4

Б y = −x 2

В y =x 3 −1

Г y =

x −2

Д y = x 3 −x

15.
Знайдіть область визначення функції y
= x
x
+
2
.

2 −1

А [− 2; 0) (Υ 0; +∞)

Б [− 2; +∞)

В (− 2; 0)Υ(0;+∞)

Г (−∞; − 2]

Д x ≠1

16.
Власник банкоматної картки забув останні дві цифри свого PIN-коду, але пам’ятає, що вони різні. Знайдіть імовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи.

1 А 2

1 Б 25

1 В 50

1 Г 90

1 Д 100

17.
Прямі m
і n
паралельні. Обчисліть величину кута х
, зображеного на рисунку.

А 40º

Б 45º

В 50º

Г 80º

Д 140º

A 18.
У прямокутнику ABCD
прямі m
і n
проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см2
. Обчисліть площу прямокутника ABCD
.

D

А 24 см2

Б 30 см2

В 36 см2

Г 42 см2

Д 48 см2

19.
Ортогональною проекцією відрізка з кінцями у точках А
(−1; 0; 5) і В
(−1; 0; 8) на координатну площину xy
є:

А	Б	В	Г	Д
пряма	промінь	відрізок	точка	фігура, що відрізняється від перелічених

20.
Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого а
.

А 4а 3

Б πа 3

В 2πа 3

Г 4πа 3

Д (2 + 2 2 ) πа 2

Частина 2

Розв’яжіть завдання 21
–
36. Запишіть відповідь у зошит і перенесіть її до бланка А.

x
2
+ 2x
− 3

21.
Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності < 0 . x
+ 2

Відповідь: _
-1
_________________

22.
Обчисліть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 2, а сьомий – 20.

Відповідь: _610

_________________

23.
Обчисліть значення виразу 53
+ 2
− 9
.

8− 11 13 + 11 13 + 2

Відповідь: _10

_________________

24.
(Задача Л.Пізанського, XII-XIII ст.)

Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга – 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що знаходиться між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах)
.

Відповідь: _18

___________ футів
.

25.
Обчисліть значення виразу sin 2α, якщо ctgα= − .

Відповідь запишіть ДЕСЯТКОВИМ ДРОБОМ.

Відповідь: _-0,8

_________________

26.
Розв’яжіть рівняння x
2
−x
− 6 = − 2x
.

Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповідь їх добуток.

Відповідь: _-3

_________________

⎧⎪2x
⋅3y
= 24,

27.
Розв’яжіть систему рівнянь ⎨ y x
Запишіть у відповідь СУМУ x
0
+ y
0
, ⎪⎩
2
⋅
3
=
54.

якщо пара (x
0
; y
0
) є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: _4

_________________

28.
Обчисліть 1 ⋅9log
3
14 + 0,5 .

25

Відповідь запишіть ДЕСЯТКОВИМ ДРОБОМ.

Відповідь: _1,68

_________________

29.
Відрізок 12 см завдовжки поділили на дві частини так, що сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, стала найменшою. Обчисліть суму площ квадратів.

Відповідь: _72

_________________

30.

Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву y
= 3x
− x
2
. Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю OX
(див. рис.)?

Одиниця довжини – 1 км.

Відповідь: _4,5

______________ км
2

річка

⎧⎪x
2
+ y
2
= a
2
,

31.
Знайдіть НАЙМЕНШЕ значення параметра а
, при якому система ⎨ 2 2 ⎪⎩(x
− 7) + y
=1

має єдиний розв’язок.

Відповідь: _-8

_________________

32.
На рисунку зображено графік функції f
(x
) = x
4
− x
2
+ bx
+ c
.

Визначте знаки параметрів b
і c
.

У відповіді вкажіть номер правильного варіанта з наведених нижче.

⎧b
> 0, ⎧b
> 0, ⎧b
< 0, ⎧b
< 0,

1. ⎨ 2. ⎨ 3. ⎨ 4. ⎨

⎩c
> 0. ⎩c
< 0. ⎩c
> 0. ⎩c
< 0.

Відповідь: _3

_________________

⎧ ⎛π ⎞ 8

33.
Розв’яжіть систему рівнянь ⎪⎪
⎨cos⎜⎝
2
(2x
+ 5)⎠
⎟=1+(y
−1) ,

⎪
4sinπ
y
= 4x
2
+ 4x
+ 5.

⎪⎩ 2

Запишіть у відповідь ДОБУТОК x
0
y
0
, якщо пара (x
0
; y
0
) є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: _-0,5

_________________

34.
Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.

Відповідь: _18

_________________

35.
Укажіть номер фужера, у який можна налити НАЙБІЛЬШЕ рідини.

1	2	3

Відповідь: _3

_________________

36.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60º. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см2
).

Відповідь: _24

____________ см2

Частина 3

Розв’язання завдань 37
–
38 повинно мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань схемами, графіками, таблицями.

УВАГА! Розв’язання завдань 37
–
38 запишіть у бланку Б.

37.
Основою прямого паралелепіпеда є квадрат ABCD
зі стороною 3 см. Бічне ребро AA
1
дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину А
перпендикулярно до прямої BA
1
(у см
2
).

ЧЕРНЕТКА

ЧЕРНЕТКА

38.
Розв’яжіть рівняння 2 (tg2
x
+ ctg2
x
+ 2)+ a
2
= 3a
(tgx
+ ctgx
), якщо x
π
n
, де n
∈Z
.

ЧЕРНЕТКА

ЧЕРНЕТКА

ЧЕРНЕТКА

УВАГА! Розв’язання завдань 37
–
38 запишіть у бланку Б.

Кінець тестового зошита