1. С помощью принципа возможных перемещений (общего уравнения динамики) определить ускорение центра масс тела А.
2. С помощью принципа Даламбера найти натяжение нити на всех участках. Рассмотрев динамическое равновесие последнего тела, сделать проверку правильности выполненных расчётов.
3. Составить дифференциальное движение Лагранжа и определить ускорение центра масс тела А. Сравнить результат.
4. Найти расстояние S, пройденное центром масс тела А за время t1
= 2 с, и скорость его в этот момент времени.
5. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы определить скорость центра масс тале А в момент t, когда он пройдёт расстояние S, найденное в п. 4.
Р = 30 Н, G = 15 HF = 20Н, М=300 Нсм R= 0,3 м, r= 0,2 м, g= 10м/с.
Решение.
Рисунок 1
1. Общее уравнение динамики для системы запишется как
(1)
Сократив на dj, получим
Или можно записать
Откуда найдём ускорение
м/с (2)
2. Уравнение Лагранжа II рода. Система имеет одну степень свободы, тодга
, (2)
где Qx – обобщённая сила,
Т –кинематическая энергия системы;
q– обобщённая координата
Т=Т1
+Т2
+Т3
Кинематическая энергия основания, вокруг которого вращается ступенчатый цилиндр
- масса основания
Момент инерции цилиндра относительно оси вращения
Где - момент инерции цилиндра относител
Теперь окончательно запишем кинематическую энергию системы
(3)
Частная производная
Где (q=S) – обобщённая координата
Найдём обобщённую силу
откуда
Откуда получим окончательное уравнение
(4)
Сравнив выражения (2) и (4) видим, что они полностью идентичны
Ускорение аА
=0,26 м/с найдено верно.
3. Найдём расстояние S, пройденное телом А за время t= 2 с. Так как, движение ускоренное тела А (это груз 1) и начинается из состояния покоя, то скорость его при t= 2 с будет
м/с
А путь пройденный телом А будет
м
4. Используя теорему об изменении кинематической энергии системы
(3)
Так как движение начинается из состоянии покоя, то То=0. А так как система снабжена идеальными связями, то работа внутренних сил . Следовательно (3) запишем как
(6)
где - работа внешних сил и
Работа внешних сил и будет равна,
Дж
м/с, что совпадает с ранее полученным значением
5. Натяжение нитей
а) Рассмотрим в равновесии груз 1. К нему приложены силы , и , где - сила натяжении нити, удерживающей груз 1.Спроецируем сумму сил на ось х
-- += 0 или
Рисунок 2
б) Рассмотрим в равновесии ступенчатый цилиндр. Составим уравнение равновесия сил относительно оси О
(4)
Рисунок 3
Откуда
Н